[论文解读] Branching rules for quantum toroidal gl(n)

Boris Feigin, M. Jimbo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 22

一句话总结

本文在量子环代数 $\mathcal{E}_n(q_1,q_2,q_3)$ 内构建了子代数 $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)\subset\mathfrak{gl}(n+m)$ 的量子环代数类比，并确立了该子代数上表示的分支规则。关键结果是关于麦马洪模（MacMahon modules）分解为低秩模张量积的猜想公式，涉及平面分拆和模参数，明确依赖于秩 $K$ 和量子参数。

ABSTRACT

We construct an analog of the subalgebra $Ugl(n)\otimes Ugl(m)$ of $Ugl(m+n)$ in the setting of quantum toroidal algebras and study the restrictions of various representations to this subalgebra.

研究动机与目标

• 将经典子代数嵌入 $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)\subset\mathfrak{gl}(n+m)$ 推广至量子环代数设定。
• 研究量子环代数 $\mathcal{E}_n$ 表示在所构造子代数上的限制。
• 建立麦马洪模分解为低秩 $\mathcal{E}_{n-1}$ 与 $\mathcal{E}_1$ 模张量积的猜想。
• 通过 $\mathcal{E}_n$ 的共形极限，将分支规则与共形场论及 AGT 对应联系起来。
• 通过有限维模的解析延拓，为理解 $\mathcal{E}_{n-1}$ 在 $\mathcal{E}_n$ 中的交换子提供框架。

提出的方法

• 在 $\mathcal{E}_n$ 内构造子代数 $\mathcal{E}_n^{n-1|0} \otimes \mathcal{E}_1^{n-1||0}$，作为 $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)$ 的量子环代数类比。
• 通过参数 $k$ 的有限维模 $\mathcal{N}_{\alpha,\beta}^{(n;p)}(u)$ 的解析延拓，定义麦马洪模 $\mathcal{M}_{\alpha,\beta,\emptyset}^{(n;p)}(u,K)$。
• 应用共形极限 $q_1 = \varepsilon^{\sigma_1}, q_2 = \varepsilon^{\sigma_2}, q_3 = \varepsilon^{\sigma_3}, \kappa = \varepsilon^k, \varepsilon \to 1$，将代数与顶点算子代数联系起来。
• 使用戈登矩阵 $G_{i,j} = \min\{i,j\}$ 编码分解公式中的双线性型。
• 推导出 $\mathcal{E}_{n-1}^{n-1|0} \otimes \mathcal{E}_1^{n-1||0}$-模的猜想同构，涉及整数 $j$ 的求和、$i_r, i_r'$ 的模约束，以及非负整数 $l_r, l_r'$。
• 引入参数 $\rho(i,i';j)$ 和 $w(i,i';j)$ 以编码梯度位移与谱流，其中 $y_r = \sum_{s=1}^r p_s$ 且 $y_r' = n l_r'$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典嵌入 $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)\subset\mathfrak{gl}(n+m)$ 推广至量子环代数设定？
• RQ2 $\mathcal{E}_{n-1}^{n-1|0}$ 在 $\mathcal{E}_n$ 中的交换子结构为何？
• RQ3 麦马洪模在子代数 $\mathcal{E}_{n-1}^{n-1|0} \otimes \mathcal{E}_1^{n-1||0}$ 上的限制下如何分解？
• RQ4 共形极限在连接量子环代数与共形场论及 AGT 猜想中起何作用？
• RQ5 $\mathcal{E}_n$-模的分支规则能否以平面分拆和模参数表示？

主要发现

• 本文在量子环代数 $\mathcal{E}_n$ 内构造了子代数 $\mathcal{E}_n^{n-1|0} \otimes \mathcal{E}_1^{n-1||0}$，推广了经典 $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)$ 嵌入。
• 麦马洪模 $\mathcal{M}_{\alpha,\beta,\emptyset}^{(n;0)}(u,K)$ 被猜想分解为 $\mathcal{E}_{n-1}^{n-1|0}$ 与 $\mathcal{E}_1^{n-1||0}$ 模的张量积的直和，带有特定的梯度位移。
• 该分解涉及整数 $j$ 的求和、$i_r, i_r'$ 对模 $n-1$ 的约束，以及非负整数 $l_r, l_r'$，且仅有有限多项非零。
• 梯度位移由 $\rho(i,i';j) = \frac{n(n-1)}{2}j + \frac{n-1}{2}\sum p_r + \frac{n+1}{2}\sum (i_r + i_r') - \frac{1}{2(n-1)}\sum (i_r^2 + (i_r')^2)$ 编码。
• 谱流参数为 $w(i,i';j) = \sum_r (\eta^{(p_r)} + \eta_{i_r} + \eta_{i_r'}) - j\eta$，其中 $\eta$ 与 $\eta^{(p_r)}$ 由 $q$-变形参数定义。
• 分解公式包含双线性型 $\frac{1}{2}(y^t G y + (y')^t G y')$，其中 $y_r' = n l_r'$，并满足约束 $\sum r l_r - \sum r l_r' = (n-1)j + \sum (i_r + p_r + i_r') + \sum r m_r$。