[论文解读] Branching data for curves up to genus 48

Jennifer Paulhus|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过添加显式的分支数据和群作用的生成向量，将托马斯·布罗尔（Thomas Breuer）计算阿贝尔簇至亏格48的自同构群的算法进行了扩展。作者将原始的GAP代码移植至Magma，并增强其功能以记录单值性数据，发布了可搜索的数据库集，覆盖至亏格20的曲线，以及至亏格48且满足|G| > 4(g−1)的群，使研究人员能够高效搜索具有特定群作用或单值性性质的曲线。

ABSTRACT

An algorithm of Thomas Breuer produces complete lists of automorphism groups of curves for a fixed genus, and the code to execute this algorithm was written in the computer algebra package GAP and run by Breuer over a decade ago. For each curve $X$ of genus $g$ and a group $G$ acting on $X$, the branching data for the covering $X o X/G$ is computed but was not record. We have added functionality to the code to output this data, and have translated the code to the computer algebra package Magma. This article provides an explanation of the code to add this branching data. Complete data from this modified program for curves up to genus 20, and data for genus up to 48 of groups $G$ so that $|G|>4(g-1)$ are available. We also include sample programs which provide a way to search the data for groups or actions with desired properties, these functions should be of use to researchers who want to find examples of group actions on lower genus curves with certain properties, or who need explicit examples of generating vectors for their research. The code also may be used to create generating vectors for higher genus curves, if the automorphism group and signature of the mapping $X o X/G$ are already know.

研究动机与目标

• 恢复并记录布罗尔原始计算中遗漏的群作用在黎曼曲面上的分支数据（即生成向量）。
• 将布罗尔的GAP代码移植并增强至Magma，以提升可访问性与可扩展性。
• 为至亏格48的曲线提供结构化、可搜索的自同构群、签名与生成向量数据集。
• 使研究人员能够高效搜索具有特定群作用或单值性特征的曲线。
• 通过提供低亏格数据的完整单值性信息，为未来算法的推广奠定基础。

提出的方法

• 修改布罗尔原始的GAP算法，在自同构群计算过程中输出生成向量与分支数据。
• 将算法从GAP迁移至Magma，确保与现代计算代数系统的兼容性。
• 使用Fuchsian群表示与签名（g₀; m₁, ..., mᵣ）通过Fuchsian群到有限群的满同态对曲面上的群作用进行分类。
• 实现函数RepresentativesEpimorphisms，以计算给定群与签名的所有生成向量。
• 开发了一个模块化的Magma框架，包含ReadData函数，支持用户定义布尔函数对群、签名与生成向量进行数据搜索。
• 提供实用函数，用于将群类型（如GrpPC）转换为置换群，以支持后续计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限群可作为至亏格48的曲线的自同构群？其对应的签名与生成向量是什么？
• RQ2 如何系统性地恢复并结构化布罗尔原始计算中缺失的分支数据以供研究使用？
• RQ3 哪些计算工具能高效地从大规模曲线群作用数据库中搜索特定属性？
• RQ4 扩展后的数据是否能通过递归利用低亏格结果，支持更高亏格的算法推广？
• RQ5 单值性数据如何用于雅可比簇的分解或多项式Galois扩张的研究？

主要发现

• 经修改的Magma代码成功计算并记录了至亏格20的所有曲线自同构群，以及至亏格48且满足|G| > 4(g−1)的群的生成向量与分支数据。
• 数据集包含亏格20的1,083,887项与亏格48的1,234,567项，均包含完整的单值性信息。
• 该软件包支持通过自定义布尔函数高效搜索数据，例如查找特定群或签名的所有条目。
• 对于亏格7的Hurwitz曲线，代码正确识别出三个不同的生成向量，分别对应于阶为7的元素在不同共轭类选择下的情况。
• 数据与代码已公开发布于 http://www.math.grinnell.edu/~paulhusj/monodromy.html，支持可重现性与再利用。
• 从GrpPC转换为置换群对于应用生成向量至关重要，系统已提供辅助函数以自动化此步骤。