[论文解读] Bridgeland's stabilities on abelian surfaces

Shintarou Yanagida, Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本论文研究了Picard数为1的阿贝尔曲面上的Bridgeland稳定条件的墙与墙间结构，重点关注秩1复形。通过傅里叶- Mukai变换与Mukai格点技术，分类了余维数0的墙，并证明当primitive Mukai向量满足⟨v²⟩/2 ≤ 4时，模空间MH(v)同构于希尔伯特概形或与X的积，推广了Mukai早期的结果。傅里叶- Mukai变换对稳定参数的作用被证明对应于上半平面上的自然SL(2,R)作用。

ABSTRACT

In this paper, we shall study the structure of walls for Bridgeland's stability conditions on abelian surfaces. In particular, we shall study the structure of walls for the moduli spaces of rank 1 complexes on an abelian surface with the Picard number 1.

研究动机与目标

• 理解Picard数为1的阿贝尔曲面上Bridgeland稳定条件的墙与墙间结构。
• 研究这些墙在傅里叶- Mukai变换与对偶函子作用下的行为。
• 对满足小自交⟨v²⟩/2 ≤ 4的primitive Mukai向量，分类模空间MH(v)。
• 将数值解与余维数0的墙联系起来，并描述其几何结构。

提出的方法

• 使用Mukai格点(H∗(X,Z)alg, ⟨·,·⟩)表达稳定函数Z(β,ω)(E) = ⟨e^{β+iω}, v(E)⟩。
• 通过复形V−1 → V0的半齐次表示的数值解表征墙。
• 应用傅里叶- Mukai变换以关联模空间，并证明其在参数空间上的作用对应于上半平面上SL(2,R)的作用。
• 利用傅里叶- Mukai函子的上同调作用，定义作用于墙上的群Gn,ℓ ⊂ GL(2,R)。
• 分析稳定性条件σ(β+sH,tH)的(s,t)-平面，表明墙形成不相交的圆或直线。
• 应用[14]中关于二次型的结果，对数值解的等价类进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Picard数为1的阿贝尔曲面上，Bridgeland稳定条件的余维数0墙如何与半齐次表示的数值解相关？
• RQ2 在NS(X) = ZH的阿贝尔曲面上，秩1复形的墙与墙间分解具有何种结构？
• RQ3 傅里叶- Mukai变换如何作用于稳定条件空间以及稳定对象的模空间？
• RQ4 对于满足⟨v²⟩/2 ≤ 4的primitive Mukai向量v，何时有MH(v)同构于希尔伯特概形或与X的积？
• RQ5 余维数0墙在群Gn,ℓ作用下的轨道结构如何？

主要发现

• 余维数0墙与数值解之间存在双射关系；若√(ℓ/n) ∈ Q，则存在唯一这样的墙，否则存在无穷多个。
• 当v = 1 − ℓ̺X且ℓ ≤ 4时，模空间MH(v)同构于Hilb⟨v²⟩/2(X) × X或MH(0,2H,−1)，推广了Mukai的结果。
• 模空间MH(1,0,−4)不与MH(0,2H,−1)同构，因为它们具有不同类型的收缩。
• 当s = −2且v = (1,0,−4)时，模空间M(−2H,t2H)(1,0,−4)通过傅里叶- Mukai变换同构于MH(0,2H,−1)。
• 傅里叶- Mukai变换在参数空间上的作用对应于上半平面上的标准SL(2,R)作用。
• 余维数0墙的集合在Gn,ℓ作用下构成一个轨道，其在(±√(ℓ/n), 0)处有两个聚点。