[论文解读] Projectivity and Birational Geometry of Bridgeland moduli spaces

Arend Bayer, Emanuele Macrì|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 75被引用 19

一句话总结

本文在K3曲面上的Bridgeland模空间上构造了一族典范的nef除子类，证明其随稳定性条件自然变化，并在一般稳定性条件下为ample。关键贡献在于系统地建立了Bridgeland稳定性中的墙-crossing与极小模型程序之间的联系，从而在层的模空间与点的Hilbert概形的双有理几何方面获得了新结果。

ABSTRACT

We construct a family of nef divisor classes on every moduli space of stable complexes in the sense of Bridgeland. This divisor class varies naturally with the Bridgeland stability condition. For a generic stability condition on a K3 surface, we prove that this class is ample, thereby generalizing a result of Minamide, Yanagida, and Yoshioka. Our result also gives a systematic explanation of the relation between wall-crossing for Bridgeland-stability and the minimal model program for the moduli space. We give three applications of our method for classical moduli spaces of sheaves on a K3 surface: 1. We obtain a region in the ample cone in the moduli space of Gieseker-stable sheaves only depending on the lattice of the K3. 2. We determine the nef cone of the Hilbert scheme of n points on a K3 surface of Picard rank one when n is large compared to the genus. 3. We verify the "Hassett-Tschinkel/Huybrechts/Sawon" conjecture on the existence of a birational Lagrangian fibration for the Hilbert scheme in a new family of cases.

研究动机与目标

• 在Bridgeland稳定复形的模空间上构造一族典范的nef除子类，使其随稳定性条件自然变化。
• 在Bridgeland稳定性中的墙-crossing与模空间的极小模型程序之间建立系统性联系。
• 证明在K3曲面上的一般稳定性条件下，所构造的除子类为ample，推广先前关于层模空间的结果。
• 将该方法应用于经典层模空间与K3曲面上的Hilbert概形，获得其双有理几何的新结果。
• 验证Hassett-Tschinkel/Huybrechts/Sawon关于Hilbert概形存在双有理拉格朗日纤维化的猜想在新情形下的成立。

提出的方法

• 通过稳定条件的中心化量比值的虚部，定义模空间S上的数值Cartier除子类ℓσ,ℰ：ℓσ,ℰ([C]) = Im(−Z(Φℰ(𝒪C))/Z(v))，其中C ⊂ S为一条曲线。
• 利用Abramovich与Polishchuk的范畴化构造证明该除子为nef，避免使用GIT，且无需额外选择即可保证正性。
• 利用稳定性流形的墙与墙间分解，将稳定性条件的变化与模空间的双有理变换联系起来。
• 通过识别模空间的Néron–Severi群的公共开子集，并将双有理态射延拓过墙，将构造应用于K3曲面。
• 利用导出范畴中的初等变换比较不同墙间区域的除子类，证明在公共开子集上ℓσ₀,ℰ₊ = ℓσ₀,ℰ₋。
• 利用模空间为K-trivial且曲线的Brauer群为平凡的事实，实现除子类族的提升，并比较其度数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Bridgeland模空间上构造一族随稳定性条件自然变化的典范nef除子类？
• RQ2 Bridgeland稳定性中的墙-crossing与模空间的极小模型程序之间存在何种精确关系？
• RQ3 在何种条件下所构造的除子类为ample，其结果如何推广先前关于层模空间的研究？
• RQ4 该方法能否确定经典模空间（如K3曲面上点的Hilbert概形）的nef与ample锥？
• RQ5 该方法是否能在新情形下验证Hassett-Tschinkel/Huybrechts/Sawon关于Hilbert概形存在双有理拉格朗日纤维化的猜想？

主要发现

• 所构造的除子类ℓσ,ℰ对任意Bridgeland稳定性条件σ及半稳定对象族均为nef，且ℓσ,ℰ. C = 0当且仅当沿曲线C对应的对象为S-等价。
• 在K3曲面上的一般稳定性条件下，除子类ℓσ,ℰ为ample，推广了Minamide、Yanagida与Yoshioka的结果。
• 该方法提供了一个依赖于K3格的模空间Gieseker稳定层的ample锥中的区域。
• 对于Picard秩为1的K3曲面上n个点的Hilbert概形，当n相对于亏格足够大时，nef锥被确定。
• 该方法在新一族情形下验证了Hassett-Tschinkel/Huybrechts/Sawon关于Hilbert概形存在双有理拉格朗日纤维化的猜想。
• 通过导出范畴中的初等变换可知，wall-crossing诱导的双有理模型之间，除子类保持不变，即在公共开子集上ℓσ₀,ℰ₊ = ℓσ₀,ℰ₋。