[论文解读] Brief Announcement: Distributed Graph Problems Through an Automata-Theoretic Lens

Yi‐Jun Chang, Jan Studený+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

semigroups and automata theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种自动化的形式化框架，用于自动判定无标签路径、环和有根树上局部可检查标记（LCL）问题的可解性与轮数复杂度。通过将LCL问题建模为在单字母表上的非确定性有限自动机（NFA），作者证明了除一种共-NP完全情况外，可解性与局部性（O(1)、Θ(log* n) 或 Θ(n)）均可在多项式时间内判定，从而实现了分布式系统中高效算法的自动合成。

ABSTRACT

The locality of a graph problem is the smallest distance $T$ such that each node can choose its own part of the solution based on its radius-$T$ neighborhood. In many settings, a graph problem can be solved efficiently with a distributed or parallel algorithm if and only if it has a small locality. In this work we seek to automate the study of solvability and locality: given the description of a graph problem $Π$, we would like to determine if $Π$ is solvable and what is the asymptotic locality of $Π$ as a function of the size of the graph. Put otherwise, we seek to automatically synthesize efficient distributed and parallel algorithms for solving $Π$. We focus on locally checkable graph problems; these are problems in which a solution is globally feasible if it looks feasible in all constant-radius neighborhoods. Prior work on such problems has brought primarily bad news: questions related to locality are undecidable in general, and even if we focus on the case of labeled paths and cycles, determining locality is $\mathsf{PSPACE}$-hard (Balliu et al., PODC 2019). We complement prior negative results with efficient algorithms for the cases of unlabeled paths and cycles and, as an extension, for rooted trees. We introduce a new automata-theoretic perspective for studying locally checkable graph problems. We represent a locally checkable problem $Π$ as a nondeterministic finite automaton $\mathcal{M}$ over a unary alphabet. We identify polynomial-time-computable properties of the automaton $\mathcal{M}$ that near-completely capture the solvability and locality of $Π$ in cycles and paths, with the exception of one specific case that is $\mbox{co-$\mathsf{NP}$}$-complete.

研究动机与目标

• 自动化合成适用于局部可检查图问题的高效分布式与并行算法。
• 确定无标签路径、环和有根树上LCL问题的轮数复杂度。
• 识别在已知一般情况下不可判定的前提下，可解性与局部性可高效判定的条件。
• 通过归约方法，将路径和环上的结果扩展至有根树上的边可检查LCL问题。
• 利用自动机理论性质刻画LCL问题的复杂度格局。

提出的方法

• 将每个LCL问题建模为在单字母表上的非确定性有限自动机（NFA），以表示问题的局部约束。
• 利用自动机的性质——如灵活状态的存在性或强连通分量的D3定向词——来判定问题是否可解及其局部性。
• 通过单向算法从有向路径中定义并计算有根树中的距离-k 锚定，以实现规范解。
• 通过确保节点输出仅依赖于其祖先，将有向路径上的算法转换为有根树上的算法，从而支持并行执行。
• 证明通过自动机分析，环和路径上的可解性与局部性可在多项式时间内判定，除一种共-NP完全情况外。
• 利用从有根树问题到路径问题的归约，将结果扩展至线性结构之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否自动判定无标签路径和环上LCL问题的可解性与轮数复杂度？
• RQ2 在单字母表上的NFA具有哪些自动机理论性质，可对应于LCL问题的可解性与局部性？
• RQ3 路径和环上的结果能否扩展至有根树上的边可检查LCL问题？
• RQ4 对于任何非平凡类，有根树上LCL问题的轮数复杂度是否可在多项式时间内判定？
• RQ5 在有根树上，轮数复杂度可在多项式时间内判定的最大LCL问题类是哪一个？

主要发现

• 通过自动机性质，无标签路径和环上LCL问题的可解性与局部性可在多项式时间内判定，仅存在一种共-NP完全的例外情况。
• NFA中存在灵活状态，或强连通分量存在D3定向词，可表征具有有限局部复杂度（O(1) 或 Θ(log* n)）的问题。
• 所有在环和路径上具有有限局部性的LCL问题均可在O(1)或Θ(log* n)轮内求解，且不存在中间复杂度。
• 通过将边可检查LCL问题归约为路径问题，可多项式时间确定其在有根树上的轮数复杂度。
• 可利用距离-k 锚定与单向计算，构造有根树上Θ(log* n)轮问题的规范算法。
• 该框架可实现对结构化网络中LCL问题的高效分布式算法的自动合成，对算法设计具有实际意义。