[论文解读] BSDEs with no driving martingale, Markov processes and associated Pseudo Partial Differential Equations. Part II: Decoupled mild solutions and Examples

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文引入了无驱动鞅的时变非时齐马氏过程驱动的半线性伪PDE的解耦温和解概念。建立了解耦温和解与鞅解之间的等价性，证明了在适当条件下解的存在唯一性，并将这些解与无驱动鞅的前向-后向SDE联系起来，为生成元非局部PDE算子的情形提供了粘性解的稳健分析替代方案。

ABSTRACT

Let $(\mathbb{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T] imes E}$ be a family of probability measures, where $E$ is a Polish space,defined on the canonical probability space ${\mathbb D}([0,T],E)$ of $E$-valued cadlag functions. We suppose that a martingale problem with respect to a time-inhomogeneous generator $a$ is well-posed. We consider also an associated semilinear {\it Pseudo-PDE} with generator $a$ for which we introduce a notion of so called {\it decoupled mild} solution and study the equivalence with the notion of martingale solution introduced in a companion paper. We also investigate well-posedness for decoupled mild solutions and their relations with a special class of BSDEs without driving martingale. The notion of decoupled mild solution is a good candidate to replace the notion of viscosity solution which is not always suitable when the map $a$ is not a PDE operator.

研究动机与目标

• 提出一种新的解析解概念——半线性伪PDE的解耦温和解，适用于与时间非齐次马氏过程相关的伪PDE。
• 在配套论文中定义的鞅解基础上，建立解耦温和解与鞅解之间的等价性。
• 在生成元和终端条件满足适当的正则性与可积性条件时，证明解耦温和解的存在性与唯一性。
• 阐明解耦温和解与无驱动鞅的前向-后向SDE之间的关系，特别是在非马氏与非布朗运动框架下。
• 当生成元算子非局部PDE时，为粘性解提供一种可行的替代方案，尤其适用于退化或非扩散情形。

提出的方法

• 框架基于具有时间非齐次生成元的马氏过程的轨律族 $ (\mathbbm{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T]\times E} $ 所构成的典范路径空间，该空间由右连左极路径构成。
• 研究形式为 $ a(u) + f(\cdot,\cdot,u,\Gamma(u)^{1/2}) = 0 $ 的伪PDE，其终端条件为 $ u(T,\cdot) = g $，其中 $ \Gamma(u) $ 为 carré du champ 算子。
• 通过与生成元 $ a $ 关联的时间依赖转移核定义解耦温和解，从而在解的PDE分析与概率方法之间建立桥梁。
• 通过条件数学期望的严格分析，结合扩展算子 $ \mathfrak{a} $ 与 $ \mathfrak{G} $，证明了解耦温和解与鞅解之间的等价性。
• 通过在合适函数空间中的不动点论证建立存在性与唯一性，依赖于鞅问题的适定性以及生成元及其导数的有界性。
• 通过证明 $ u(s,x) = Y^{s,x}_s $ 定义了解耦温和解，将与无驱动鞅的前向-后向SDE的联系形式化，其中 $ Y^{s,x} $ 满足如下形式的FBSDE：$ Y_t = g(X_T) + \int_t^T f(r,X_r,Y_r,\sqrt{d\langle M^{s,x}\rangle_r/dr})dr - (M_T^{s,x} - M_t^{s,x}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当生成元非局部PDE算子时，能否为伪PDE定义一种新的解析解概念？
• RQ2 在无驱动鞅的情形下，解耦温和解的概念是否与概率意义下的鞅解等价？
• RQ3 在何种条件下解耦温和解存在且唯一？
• RQ4 解耦温和解与无驱动鞅的前向-后向SDE之间有何关系？
• RQ5 在非扩散或退化情形下，解耦温和解能否作为粘性解的可行替代方案？

主要发现

• 提出了解耦温和解作为无驱动鞅的时变非齐次马氏过程驱动的半线性伪PDE的明确定义的解析解概念。
• 在鞅问题对生成元 $ a $ 适定的假设下，证明了解耦温和解与鞅解之间的等价性。
• 在生成元 $ f $ 与终端条件 $ g $ 有界且足够正则的条件下，通过适当的可积性与正则性条件，建立了解耦温和解的存在性与唯一性。
• 证明了无驱动鞅的FBSDE的解 $ u(s,x) = Y^{s,x}_s $ 是相应伪PDE的解耦温和解。
• 该框架为生成元 $ a $ 非局部PDE算子的情形，特别是非扩散或退化情形，提供了对粘性解的稳健分析替代方案。
• 等价性证明依赖于通过Fubini定理实现时间导数与生成元导数的可交换性，以及扩展算子 $ \mathfrak{a} $ 与 $ \mathfrak{G} $ 的使用，它们将 $ a $ 与 $ \Gamma $ 扩展至更大的定义域。