[论文解读] BSDEs with random default time and their applications to default risk

Shigē Péng, XU Xiao-ming|ArXiv.org|Oct 12, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文建立了在可违约金融市场上，由布朗运动和违约鞅驱动的倒向随机微分方程（BSDEs）解的存在性与唯一性，该市场包含随机违约时间，且适用于模型不确定性下的鲁棒定价。本文证明了一个比较定理，并将结果应用于在违约风险下零和随机微分博弈中推导鞍点策略。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with backward stochastic differential equations with random default time and their applications to default risk. The equations are driven by Brownian motion as well as a mutually independent martingale appearing in a defaultable setting. We show that these equations have unique solutions and a comparison theorem for their solutions. As an application, we get a saddle-point strategy for the related zero-sum stochastic differential game problem.

研究动机与目标

• 为解决使用具有随机违约时间的倒向随机微分方程（BSDEs）对金融市场中的违约风险进行建模的挑战。
• 在扩展滤链下，建立由布朗运动和与违约相关的鞅驱动的BSDE解的存在性与唯一性。
• 为这类BSDE的解建立一个比较定理，以实现对不同风险情景的比较分析。
• 将理论结果应用于在模型不确定性下对或有权益的鲁棒评估，特别是在不完全或模糊市场中。
• 利用所提出的BSDE框架，推导出在违约风险背景下零和随机微分博弈的鞍点策略。

提出的方法

• 在扩展滤链 G = F ∨ H 下，构建一个具有随机违约时间 τ 的BSDE，其由布朗运动 B 和违约鞅 M 驱动。
• 引入 F-危险过程 Γ 及其强度过程 γ，确保违约时间 τ 不是 F-停时，并构造违约鞅 M_t = H_t - Γ_{t∧τ}。
• 应用 Kusuoka 的鞅表示定理，将任意 G-平方可积鞅表示为对 B 和 M 的随机积分之和。
• 使用 Girsanov 定理将测度从历史概率 P 转换为风险中性测度 Q，从而在不同情景下推导公平价格。
• 推导出非线性BSDE的一般形式：Y_t = ξ + ∫_t^T g(s,Y_s,Z_s,ζ_s)ds - ∫_t^T Z_s dB_s - ∫_t^T ζ_s dM_s，其中生成器 g 捕获了模型模糊性。
• 在生成器 g 和终端条件 ξ 的适当条件下，建立比较定理，允许根据终端值和生成器行为对解进行排序。

实验结果

研究问题

• RQ1 当倒向随机微分方程具有随机违约时间，并由两个独立的鞅（布朗运动和违约鞅）驱动时，在何种条件下其具有唯一解？
• RQ2 当生成器和终端条件不一定有序时，如何为这类BSDE的解建立比较定理？
• RQ3 危险过程和强度过程在BSDE框架内表征违约风险中起什么作用？
• RQ4 如何将具有随机违约时间的BSDE理论应用于模型不确定性下的鲁棒定价，特别是当风险中性测度模糊时？
• RQ5 能否利用所提出的BSDE形式化方法，在可违约市场中为零和随机微分博弈推导出鞍点策略？

主要发现

• 在生成器的典型可积性与利普希茨条件成立下，由布朗运动和违约鞅驱动的具有随机违约时间的BSDE具有唯一解。
• 建立了关于解的比较定理，表明若终端条件和生成器满足某种有序关系，则对应的解也以几乎必然的方式保持该顺序。
• 生成器 g(s, y, z, ζ) = sup_{(u,v,w)∈Θ} (u y + v z + w ζ) 捕获了风险中性测度中的模型模糊性，通过超对冲实现鲁棒定价。
• 在模型不确定性下，或有权益 ξ 的公平价格由上界价格 Y_0^* = sup_{θ∈Θ} E_{P_θ}[ξ] 给出，其对应于非线性BSDE的解。
• BSDE的解可导出零和随机微分博弈的鞍点策略，其中值函数被表征为使用最坏情况生成器的BSDE的解。
• 应用 Girsanov 定理对概率测度进行变换，使得原始布朗运动和违约鞅在新测度下仍保持为布朗运动和鞅，从而保持了BSDE的结构。