[论文解读] Utility maximization in incomplete markets with default

Thomas Lim, Marie-Claire Quenez|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用 13

一句话总结

本文研究了在具有违约风险的不完全金融市场上，指数效用最大化与对等定价问题，采用倒向随机微分方程（BSDEs）方法。研究证明，效用最大化的值函数是Lipschitz BSDE的最大次解，且通过对等定价的BSDE框架实现表征，从而可通过有界策略的逼近实现数值计算。

ABSTRACT

We adress the maximization problem of expected utility from terminal wealth. The special feature of this paper is that we consider a financial market where the price process of risky assets can have a default time. Using dynamic programming, we characterize the value function with a backward stochastic differential equation and the optimal portfolio policies. We separately treat the cases of exponential, power and logarithmic utility.

研究动机与目标

• 表征具有随机违约时间的不完全市场中指数效用最大化的值函数。
• 建立效用最大化与倒向随机微分方程（BSDE）解之间的联系。
• 通过有界策略的逼近，发展针对无界可容许策略的动态规划方法。
• 利用值函数与BSDE理论，推导对等价格的表征。
• 将该框架扩展至多个违约时间或泊松过程的情形。

提出的方法

• 使用验证定理证明，在有界系数下，有界策略的值函数满足Lipschitz BSDE。
• 应用动态规划原理，将无界策略的值函数表征为BSDE的最大次解。
• 通过构造有界可容许策略的逼近序列，每个序列均满足Lipschitz BSDE，从而生成值函数的逼近序列。
• 利用Doob-Meyer分解与次鞅性质，推导出BSDE的生成元。
• 利用本质下确界与最优性准则，识别最优策略并验证解的正确性。
• 将理论应用于表征对等价格为一种二次型BSDE的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有单一违约时间的不完全市场中，指数效用最大化的值函数应如何表征？
• RQ2 倒向随机微分方程（BSDEs）在违约风险下动态值函数的表示中起何种作用？
• RQ3 在有界可容许策略的背景下，如何利用验证定理识别最优策略？
• RQ4 在无有界性约束的情况下，如何通过动态规划与BSDE表征值函数？
• RQ5 在此框架下，是否可从BSDE的解中推导出或有证券的对等定价？

主要发现

• 在有界策略下，指数效用最大化的值函数在有界系数下被表征为Lipschitz BSDE的解。
• 对于无界策略，值函数是BSDE的最大次解，该结果推广了有界情形。
• 值函数是与逼近有界策略相关的值函数序列的极限，每个序列均满足Lipschitz BSDE。
• 最优策略通过验证定理被识别，该定理将财富指数的次鞅性质与BSDE的解联系起来。
• 或有证券的对等价格被表征为从值函数导出的二次型BSDE的解。
• 该框架可扩展至多个违约时间或泊松过程，且BSDE的表征关系得以保持。