[论文解读] Building blocks of polarized endomorphisms of normal projective varieties

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文证明了正常射影代数簇的拟极化自同态总是极化自同态，并表明此类自同态可通过等变有理映射下降。主要贡献在于通过 f-等变极小模型程序（MMP）与 MRC 纤维丛，证明极化自同态的基本构成块为 Picard 数为 1 的 Fano 代数簇与 Q-阿贝尔簇（阿贝尔簇的准 étale 商）。

ABSTRACT

An endomorphism $f$ of a projective variety X is polarized (resp. quasi-polarized) if $f^*H$ is linearly equivalent to $qH$ for some ample (resp. nef and big) Cartier divisor $H$ and integer $q > 1$. First, we use cone analysis to show that a quasi-polarized endomorphism is always polarized, and the polarized property descends via any equivariant dominant rational map. Next, we show that a suitable maximal rationally connected fibration (MRC) can be made $f$-equivariant using a construction of N. Nakayama, that $f$ descends to a polarized endomorphism of the base Y of this MRC and that this Y is a Q-abelian variety (quasi-étale quotient of an abelian variety). Finally, we show that we can run the minimal model program (MMP) $f$-equivariantly for mildly singular X and reach either a Q-abelian variety or a Fano variety of Picard number one. As a consequence, the building blocks of polarized endomorphisms are those of Q-abelian varieties and those of Fano varieties of Picard number one. Along the way, we show that $f$ always descends to a polarized endomorphism of the Albanese variety Alb(X) of X, and that the pullback of a power of $f$ acts as a scalar multiplication on the Neron-Severi group of X (modulo torsion) when X is smooth and rationally connected. Partial answers about X being of Calabi-Yau type, or Fano type are also given with an extra primitivity assumption on $f$ which seems necessary by an example.

研究动机与目标

• 证明任意正常射影代数簇的拟极化自同态实际上都是极化自同态。
• 证明极化性质可沿任意等变支配有理映射下降。
• 确立最大有理连通（MRC）纤维丛可被做成 f-等变的，从而其底簇上诱导出一个极化自同态，且该底簇为 Q-阿贝尔簇。
• 证明对轻微奇点的代数簇，极小模型程序（MMP）可被 f-等变地执行，并终止于 Q-阿贝尔簇或 Picard 数为 1 的 Fano 代数簇。
• 将极化自同态的基本构成块分类为 Picard 数为 1 的 Fano 代数簇与 Q-阿贝尔簇。

提出的方法

• 利用锥分析，基于数值等价与大除子，证明拟极化自同态为极化自同态。
• 应用 Nakayama 的构造方法，使 MRC 纤维丛变为 f-等变，确保底簇继承极化自同态结构。
• 通过自同态的结构与数值性质，证明 MRC 纤维丛的底簇为 Q-阿贝尔簇。
• 对具有轻微奇点的代数簇，利用锥定理与相对 ample 性，以 f-等变方式运行极小模型程序（MMP）。
• 证明当 X 光滑且有理连通时，f 的幂的拉回在 Néron–Severi 群模挠子群上作用为数量乘法。
• 利用分歧除子与除子收缩分析，证明当自同态为本原且非 Q-阿贝尔型时，−K_X 为大除子。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有拟极化自同态是否必然为极化自同态？
• RQ2 极化性质是否可沿等变支配有理映射下降？
• RQ3 具有极化自同态的代数簇的最大有理连通（MRC）纤维丛是否可被做成 f-等变的？其底簇的性质如何？
• RQ4 对具有轻微奇点的射影代数簇，极小模型程序是否可被 f-等变地执行？
• RQ5 从双有理几何与分类角度，极化自同态的基本构成块是什么？

主要发现

• 通过锥分析与数值等价性论证，证明拟极化自同态总是极化自同态。
• 极化性质可沿任意等变支配有理映射下降，且满足度数关系：(deg f)^dim(Y) = (deg g)^dim(X)。
• f-等变 MRC 纤维丛的底簇为 Q-阿贝尔簇，即阿贝尔簇的准 étale 商。
• 对具有轻微奇点的射影代数簇，f-等变 MMP 最终终止于 Q-阿贝尔簇或 Picard 数为 1 的 Fano 代数簇。
• 极化自同态的基本构成块正是 Picard 数为 1 的 Fano 代数簇与 Q-阿贝尔簇。
• 当 X 光滑且有理连通时，f 的幂的拉回在 Néron–Severi 群模挠子群上作用为数量乘法。