[论文解读] BV functions and fractional Laplacians on Dirichlet spaces

Patricia Alonso Ruiz, Fabrice Baudoin+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文基于热半群理论，研究了具有次高斯热核估计的度量测度Dirichlet空间上的Besov与BV函数，通过次序化方法引入分数阶拉普拉斯算子。研究推导出临界指数、面积分公式、$L^1$-伪Poincaré不等式及等周不等式，表明当底层几何满足弱Bakry-Émery曲率条件时，BV空间与分数阶Sobolev空间一致。

ABSTRACT

We study $L^p$ Besov critical exponents and isoperimetric and Sobolev inequalities associated with fractional Laplacians on metric measure spaces. The main tool is the theory of heat semigroup based Besov classes in Dirichlet spaces that was introduced by the authors in previous works.

研究动机与目标

• 将有界变差函数（BV）与分数阶Sobolev空间的理论推广至基于热半群方法的非局部Dirichlet空间。
• 以分数阶拉普拉斯算子$(-L)^\delta$为工具，表征Besov空间$\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$的$L^p$-临界指数。
• 在非局部Dirichlet空间中建立等周不等式与Sobolev型不等式，尤其针对BV函数。
• 识别出临界指数$\alpha = 1/p$为非平凡Besov空间的阈值，并与$\mathbb{R}^d$上的经典Gagliardo定义相联系。
• 研究在几何假设（如弱Bakry-\'Emery曲率条件）下，BV函数在Korevaar-Schoen空间与分数阶Sobolev空间之间的二分性。

提出的方法

• 通过分数阶拉普拉斯算子$(-L)^\delta$的热半群定义Besov空间$\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$，采用范数$\|f\|_{p,\alpha} = \sup_{t>0} t^{-\alpha} \left( \int_X P_t^{(\delta)}(|f - f(x)|^p)(x) \, d\mu(x) \right)^{1/p}$。
• 利用次序化方法，从原始Dirichlet型$\mathcal{E}^{(\delta)}$构造分数阶拉普拉斯算子$(-L)^\delta$，确保其关联半群在$0 < \delta < \min\{1, d_H/d_W\}$下强连续且暂态。
• 引入临界指数$\alpha_p^\#(X) = \sup\{\alpha > 0 : \mathbf{B}^{p,\alpha}(X) \text{ 包含非平凡函数}\}$，以定义BV型空间为$\mathbf{B}^{1,\alpha_1^\#}(X)$。
• 通过水平集$E_t(|f|) = \{x : |f(x)| > t\}$建立BV函数的面积分公式，将总变差与上水平集的容量联系起来。
• 基于容度条件$\mu(K)^{1/\kappa} \leq \Theta \cdot \text{Cap}_0(K)$，建立$L^1$-伪Poincaré不等式，该不等式蕴含Sobolev型不等式$\|f\|_{L^{2\kappa}} \leq C \sqrt{\mathcal{E}^{(\delta)}(f,f)}$。
• 利用变分容度$\text{Cap}_0(K)$与谱维数$d_S^{(\delta)} = 2d_W/(\delta d_H)$刻画暂态性，并将其与等周型不等式关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非局部Dirichlet空间中，临界指数$\alpha = 1/p$在表征非平凡Besov空间$\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$时起何作用？
• RQ2 通过热半群方法定义的BV函数在度量测度空间中如何与分数阶Sobolev空间关联？
• RQ3 在何种几何条件下，BV函数空间与分数阶Sobolev空间一致？何时与Korevaar-Schoen空间一致？
• RQ4 能否仅基于热核与容度估计，在不假设局部正则性的情况下，推导出非局部Dirichlet空间中的等周与Sobolev不等式？
• RQ5 弱Bakry-\'Emery曲率条件$|P_t^{(\delta)}f(x) - P_t^{(\delta)}f(y)| \leq C \frac{d(x,y)^\kappa}{t^{\kappa/(\delta d_W)}} \|f\|_{L^\infty}$在证明BV不等式中的意义是什么？

主要发现

• 当$\alpha < 1/p$时，Besov空间$\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$非平凡，且当$s = \alpha$与$\delta = 1$时，其与$\mathbb{R}^d$上的分数阶Sobolev空间$W^{s,p}$一致。
• 当$\alpha > 1/p$时，空间$\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$为平凡，表明由算子的非局部性决定的临界阈值为$\alpha = 1/p$。
• BV函数的临界指数$\alpha_1^\#$满足$\mathbf{B}^{1,\alpha_1^\#}(X) = \text{BV}(X)$，且在弱Bakry-\'Emery条件成立时，该空间与分数阶Sobolev空间$W^{s,1}$等距同构。
• 面积分公式成立：$\int_0^\infty \text{Cap}_0(E_t(|f|)) \, dt \leq 4 \mathcal{E}^{(\delta)}(f,f)$，将总变差与上水平集的容量联系起来。
• 在容度条件$\mu(K)^{1/\kappa} \leq \Theta \cdot \text{Cap}_0(K)$下，建立了$L^1$-伪Poincaré不等式，蕴含存在常数$C > 0$使得$\|f\|_{L^{2\kappa}} \leq C \sqrt{\mathcal{E}^{(\delta)}(f,f)}$。
• 当$p \geq 2$时，空间$\mathbf{B}^{p,1/p}(X)$在$L^p(X,\mu)$中稠密，且当$s = 1/p$时，该空间与分数阶Sobolev空间$W^{s,p}(X)$一致，从而将Gagliardo定义推广至度量测度空间。