[论文解读] $C^0$ discontinuous Galerkin finite element methods for second order linear elliptic partial differential equations in non-divergence form

Xiaobing Feng, Lauren Hennings+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对具有连续系数的非散度形式二阶线性椭圆PDE的$C^0$间断伽辽金有限元方法。通过在非对称、由PDE诱导的双线性形式中引入内部罚函数项，该方法在多项式次数$k \geq 2$时实现了离散$W^{2,p}$范数下的最优收敛率，其证明基于离散Calderón–Zygmund估计，并在离散层面模仿了强解技术。

ABSTRACT

This paper is concerned with finite element approximations of $W^{2,p}$ strong solutions of second-order linear elliptic partial differential equations (PDEs) in non-divergence form with continuous coefficients. A nonstandard (primal) finite element method, which uses finite-dimensional subspaces consisting globally continuous piecewise polynomial functions, is proposed and analyzed. The main novelty of the finite element method is to introduce an interior penalty term, which penalizes the jump of the flux across the interior element edges/faces, to augment a nonsymmetric piecewise defined and PDE-induced bilinear form. Existence, uniqueness and error estimate in a discrete $W^{2,p}$ energy norm are proved for the proposed finite element method. This is achieved by establishing a discrete Calderon-Zygmund-type estimate and mimicking strong solution PDE techniques at the discrete level. Numerical experiments are provided to test the performance of proposed finite element method and to validate the convergence theory.

研究动机与目标

• 为非散度形式的二阶椭圆PDE开发一种稳定且收敛的有限元方法，其中由于缺乏散度结构，标准伽辽金方法失效。
• 解决在系数矩阵$A$连续但不可微时近似$W^{2,p}$强解的挑战，这使得弱形式方法不可行。
• 设计一种使用全局连续分段多项式的原问题有限元方法，计算简单且可在标准FEM软件中实现。
• 通过新颖的离散稳定性估计（类似于PDE层面的强解技术）建立离散$W^{2,p}$能量范数下的最优收敛速率。
• 通过数值实验验证该方法在具有光滑、一致连续及退化系数的问题中的表现，即使在理论收敛性不保证的情况下也表现出收敛性。

提出的方法

• 该方法采用基于$C^0$有限元空间的原问题弱形式，使用全局连续的分段多项式，次数$k \geq 2$。
• 构造一个非对称双线性形式，其中包含由PDE诱导的项和一个惩罚跨单元界面通量跳跃的内部罚函数项。
• 内部罚函数项强制梯度的弱连续性，模仿内部罚函数DG方法的特征，同时保持离散解的$C^0$连续性。
• 通过离散Calderón–Zygmund型估计建立稳定性和收敛性，该估计通过将局部离散化视为常系数散度形式算子的扰动而推导得出。
• 分析方法遵循PDE理论中的强解技术，特别是涉及非散度形式下局部稳定性和全局Gårding型不等式的技巧。
• 该方法使用标准有限元软件实现，双线性形式按单元组装，罚参数的选择确保稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有连续系数的非散度形式二阶椭圆PDE构造一种稳定且收敛的$C^0$有限元方法？
• RQ2 在非对称、由PDE诱导的双线性形式中引入内部罚函数项，是否能实现离散$W^{2,p}$范数下的最优收敛率？
• RQ3 能否为非散度形式PDE建立离散Calderón–Zygmund估计，以镜像强解的稳定性理论？
• RQ4 该方法在非一致椭圆或退化系数问题中是否具有鲁棒性，即使理论收敛性未被保证？
• RQ5 在不同多项式次数和问题类型下，$H^1$误差和分段$H^2$误差的实际收敛速率如何？

主要发现

• 所提出的$C^0$ DG有限元方法在拟均匀网格上，对多项式次数$k \geq 2$，在离散$W^{2,p}$范数下实现了最优收敛率。
• 数值实验表明，$|u - u_h|_{H^1(\nOmega)} = \mathcal{O}(h^k)$ 且 $\|D_h^2(u - u_h)\|_{L^2(\nOmega)} = \mathcal{O}(h^{k-1})$，与光滑问题的理论预测一致。
• 对于具有$W^{2,p}$解且$p < 8/5$的问题，当$k \geq 2$时，方法在分段$H^2$范数下以$\mathcal{O}(h^{3/4 - \varepsilon})$的速率收敛，与理论一致。
• 即使对于行列式为零的退化系数矩阵，方法仍表现出收敛性，观测到的收敛率为$\|u - u_h\|_{L^2} = \mathcal{O}(h^{4/3})$ 和 $|u - u_h|_{H^1} = \mathcal{O}(h^{5/6})$，表明其鲁棒性超出当前理论范围。
• $H^1$误差以$\mathcal{O}(h^k)$的最优阶收敛，且方法在分段线性情形（$k=1$）下仍保持收敛，尽管最优率仅对$k \geq 2$得到证明。
• 该方法结构简单、计算高效，且与标准有限元软件兼容，便于实现。