[论文解读] Discontinuous Galerkin methods for nonvariational problems

Andreas Dedner, Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文将Lakkis和Pryer提出的非变分有限元法（NVFEM）扩展至间断伽辽金（DG）框架，通过将有限元海森矩阵视为不连续的辅助变量。该方法生成了与标准DG方法规模相当且稀疏的线性系统，实现了断裂Sobolev范数下的最优收敛率，并显著降低了与连续形式相比的计算成本。

ABSTRACT

We extend the finite element method introduced by Lakkis and Pryer [2011] to approximate the solution of second order elliptic problems in nonvariational form to incorporate the discontinuous Galerkin (DG) framework. This is done by viewing the NVFEM as a mixed method whereby the finite element Hessian is an auxiliary variable in the formulation. Representing the finite element Hessian in a discontinuous setting yields a linear system of the same size and having the same sparsity pattern of the compact DG methods for variational elliptic problems. Furthermore, the system matrix is very easy to assemble, Thus this approach greatly reduces the computational complexity of the discretisation compared to the continuous approach. We conduct a stability and consistency analysis making use of the unified framework set out in Arnold et. al. [2001]. We also give an apriori analysis of the method. The analysis applies to any consistent representation of the finite element Hessian, thus is applicable to the previous works making use of continuous Galerkin approximations.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的间断伽辽金方法，用于求解二阶非变分椭圆问题，其中由于缺乏变分结构，标准有限元方法失效。
• 克服连续伽辽金方法因全局L²投影导致稠密线性系统而产生的高计算成本。
• 通过将海森矩阵逼近重新表述为不连续混合变量，将NVFEM框架扩展至DG设置，实现稀疏矩阵组装。
• 在系数矩阵A满足强制性假设的前提下，利用Arnold等人（2001）的统一DG框架建立稳定性与收敛性分析。
• 即使解的正则性不满足标准H^3或H^2条件，也通过数值实验验证其在断裂Sobolev范数下达到最优收敛率。

提出的方法

• 该方法在混合弱形式中引入有限元海森矩阵作为不连续辅助变量，将非变分问题视为混合系统。
• 利用间断伽辽金框架推导弱形式，并在单元界面处对海森变量应用数值通量。
• 系统矩阵通过局部组装，保持稀疏性，且与标准DG刚度矩阵具有相同的规模和稀疏模式。
• 利用Arnold等人（2001）的统一DG框架分析稳定性和相容性，假设系数矩阵A满足强制性条件。
• 该方法适用于有限元海森矩阵的任意一致表示形式，因此与先前的连续伽辽金工作兼容。
• 数值实验使用Dune有限元包在多种正则性条件下验证收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 非变分有限元法能否被扩展至间断伽辽金框架，以降低计算复杂度？
• RQ2 在强制性假设下，DG格式是否能保持非变分问题的最优收敛率？
• RQ3 对于正则性降低的解（如u ∈ H^2(Ω)但不属于H^3(Ω)）时，该方法表现如何？
• RQ4 即使分析框架假设更高正则性，该方法是否仍能在断裂Sobolev范数下实现最优收敛率？
• RQ5 与连续NVFEM相比，DG方法在系统稀疏性和矩阵组装方面具有何种计算优势？

主要发现

• DG格式生成的线性系统与标准DG方法规模相同且稀疏模式一致，与连续NVFEM中产生的稠密系统相比，计算成本显著降低。
• 对于属于H^{k+3}(Ω)的解，dG范数‖·‖_{dG,1}下实现了k+1阶的最优收敛率，数值证据表明即使在u ∈ H^2(Ω)但不属于H^3(Ω)时，仍保持最优收敛率。
• 对于解u(x) = ½(cos(8π|x−½|²)+1)，当|x−½|² ≤ 1/8时，使用分片二次元（k=2）的dG,1范数下，方法实现了约1.998的最优收敛率。
• 对于属于H^1(Ω)但不属于H^2(Ω)的解，如u(x) = 100x₁(1−x₁)x₂(1−x₂)/|x|，收敛率如预期为次优，但方法仍保持适定性和稳定性。
• 即使对于非强制算子，该方法在L²和dG,1范数下均实现最优收敛，表明其在分析框架之外也具有鲁棒性。
• 数值结果证实，该方法在多次网格加密下保持最优收敛率，EOC值在dG,1范数下k=2时趋近于2.0，k=1时趋近于1.998。