[论文解读] C^*-algebras associated with self-similar sets

Tsuyoshi Kajiwara, Yasuo Watatani|ArXiv.org|Dec 29, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 16

一句话总结

本文通过在希尔伯特双模 $X = C({\mathcal{G}})$ 上使用库恩茨-平斯纳构造，从自相似紧集 $K$ 上的一组恰当压缩映射 $\gamma = (\gamma_1, \dots, \gamma_N)$ 构造了一个 C*-代数 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$，其中 ${\mathcal{G}}$ 是映射 $\gamma_i$ 的余图的并集。关键结果是：若该系统满足开集条件，则 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 是简单且纯无穷的，且通常不与库恩茨代数同构，其 $K_0$-理论可检测到无挠元素。

ABSTRACT

Let $γ= (γ_1,...,γ_N)$, $N \geq 2$, be a system of proper contractions on a complete metric space. Then there exists a unique self-similar non-empty compact subset $K$. We consider the union ${\mathcal G} = \cup_{i=1}^N \{(x,y) \in K^2 ; x = γ_i(y)\}$ of the cographs of γ_i$. Then $X = C({\mathcal G})$ is a Hilbert bimodule over $A = C(K)$. We associate a $C^*$-algebra ${\mathcal O}_γ(K)$ with them as a Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_X$. We show that if a system of proper contractions satisfies the open set condition in $K$, then the $C^*$-algebra ${\mathcal O}_γ(K)$ is simple and purely infinite, which is not isomorphic to a Cuntz algebra in general.

研究动机与目标

• 从自相似集 $K$ 上的一组恰当压缩映射构造一个与之关联的 C*-代数，避免使用余图的不相交并集时造成的信息损失。
• 通过分析其 $K$-理论，证明所得 C*-代数 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 通常不与库恩茨代数同构。
• 在开集条件成立时，建立 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 的简单性与纯无穷性，推广已知的朱利亚集与有理映射结果。
• 阐明分支点与非单射编码在代数的 $K$-理论中的作用，特别是通过图 ${\mathcal{G}}$ 的结构。

提出的方法

• 定义集合 ${\mathcal{G}} = \bigcup_{i=1}^N \{(x,y) \in K^2 \mid x = \gamma_i(y)\}$ 为各压缩映射 $\gamma_i$ 的余图的并集，构成一个拓扑图。
• 在 $A = C(K)$ 上赋予同态 $\beta_i(a)(y) = a(\gamma_i(y))$，使 $X = C({\mathcal{G}})$ 成为一个希尔伯特 $A$-双模。
• 通过构造满足 $aS_i = S_i \beta_i(a)$ 的 $A$ 与部分等距生成的泛 C*-代数，得到库恩茨-平斯纳代数 ${\mathcal{O}}_X = {\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$。
• 利用开集条件，通过理想结构的直接分析以及有限维表示的缺失，证明 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 是简单且纯无穷的。
• 将该构造与已知代数关联：当 $\gamma_i$ 是有理映射 $R$ 的逆分支时，${\mathcal{O}}_{\gamma}(K) \cong {\mathcal{O}}_R(J_R)$，即与朱利亚集相关联的代数。
• 证明 $K_0({\mathcal{O}}_{\gamma}(K))$ 包含无挠元素，从而将其与库恩茨代数（如 ${\mathcal{O}}_N$）区分开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，与自相似集 $K$ 及压缩映射系 $\gamma_i$ 关联的 C*-代数 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 是简单且纯无穷的？
• RQ2 与标准库恩茨代数构造相比，使用余图的并集 ${\mathcal{G}}$ 而非不相交并集，如何影响所得 C*-代数的结构？
• RQ3 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 的 $K$-理论能否检测其与库恩茨代数的非同构性，特别是通过 $K_0$ 中无挠元素的存在？
• RQ4 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 与有理映射 $R$ 及其朱利亚集 $J_R$ 关联的 C*-代数 ${\mathcal{O}}_R(J_R)$ 之间有何关系？
• RQ5 为何标准构造使用不相交余图时得到的是库恩茨代数，而使用并集构造时却得到一个非同构的、纯无穷的代数？

主要发现

• 若压缩映射系满足 $K$ 上的开集条件，则 C*-代数 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 是简单且纯无穷的，该结论通过理想结构的直接分析得到证明。
• 该代数通常不与库恩茨代数同构，其证据在于 $K_0({\mathcal{O}}_{\gamma}(K))$ 中存在无挠元素，而 ${\mathcal{O}}_N$ 的 $K_0$ 是无挠的。
• 对于谢尔宾斯基垫片，标准压缩映射 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 满足 ${\mathcal{O}}_{(\gamma_i)}(K) \cong {\mathcal{O}}_3$，但经共轭使其成为某映射的逆分支后，所得代数 ${\mathcal{O}}_{(\tilde{\gamma}_i)}(K)$ 为简单且纯无穷，且不与 ${\mathcal{O}}_3$ 同构，其 $K_0$ 包含无挠元素。
• 对于谢尔宾斯基地毯，标准系统 $\gamma_1, \dots, \gamma_8$ 满足 ${\mathcal{O}}_{(\gamma_i)}(K) \cong {\mathcal{O}}_8$，但经修改使其成为逆分支后，所得代数 ${\mathcal{O}}_{(\gamma_i')} (K)$ 满足 $K_0 \cong \mathbb{Z}^4$，表明其不与 ${\mathcal{O}}_8$ 同构。
• 该构造可恢复已知代数：当 $\gamma_i$ 是有理映射 $R$ 的逆分支时，有 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K) \cong {\mathcal{O}}_R(J_R)$，将该理论与朱利亚集及有理映射动力学联系起来。
• ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ 的 $K$-理论反映了编码映射非单射性的失败：$K_0$ 捕获了分支点与非单射行为，且在所考虑的例子中 $K_1({\mathcal{O}}_{\gamma}(K)) = 0$。