[论文解读] C*-algebras of tilings with infinite rotational symmetry

Michael F. Whittaker|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文通过在平移动力系统上定义一个étale等价关系，将C*-代数构造从平铺推广到具有无限旋转对称性的平铺（如Conway-Radin Pinwheel平铺），并引入一个广群C*-代数。文中识别出一个分离的稠密子集，并为替换平铺构造了一个AT-子代数，证明了Pinwheel平铺AT-代数的单性，并通过连接矩阵不可逆的归纳极限系统计算了其K-理论。

ABSTRACT

A tiling with infinite rotational symmetry, such as the Conway-Radin Pinwheel Tiling, gives rise to a topological dynamical system to which an étale equivalence relation is associated. A groupoid C*-algebra for a tiling is produced and a separating dense set is exhibited in the C*-algebra which encodes the structure of the topological dynamical system. In the case of a substitution tiling, natural subsets of this separating dense set are used to define an AT-subalgebra of the C*-algebra. Finally our results are applied to the Pinwheel Tiling.

研究动机与目标

• 将C*-代数构造推广至包含无限旋转对称性平铺（如Pinwheel平铺）的情形。
• 基于平铺的平移动力系统，利用Renault理论定义广群C*-代数。
• 在C*-代数中展示一个分离的稠密子集，该子集编码了平铺的拓扑动力学结构。
• 为具有无限旋转对称性的替换平铺（特别是Pinwheel平铺）构造一个AT-子代数。
• 计算Pinwheel平铺AT-代数的K-理论，并研究其结构。

提出的方法

• 通过R²在平铺的平移空间上的作用，从平铺构造一个拓扑动力系统。
• 在平铺空间上定义一个étale等价关系作为广群，从而可应用Renault的广群C*-代数构造方法。
• 在C*-代数中识别出一个分离的稠密子集，其元素通过交换关系反映平铺的动力学结构。
• 对于替换平铺，通过在圆周上取矩阵代数的归纳极限系统，构造AT-子代数。
• 利用替换规则定义归纳系统中各级之间的连接映射，特别针对Pinwheel平铺。
• 通过验证非零元素在稠密旋转下的迭代映射中保持非零，应用Dadarlat等人关于AT-代数单性的准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广群方法为具有无限旋转对称性的平铺（如Pinwheel平铺）构造C*-代数？
• RQ2 此类平铺的C*-代数中分离稠密子集的结构是什么？其元素的交换关系如何？
• RQ3 能否在具有无限旋转对称性的替换平铺的C*-代数中自然地定义一个AT-子代数？
• RQ4 Pinwheel平铺的AT-子代数是否单性？其成立的条件是什么？
• RQ5 Pinwheel平铺AT-代数的K-理论是什么？它与上同调不变量有何关联？

主要发现

• 通过基于函数在迭代替换映射下非零的准则，证明了Pinwheel平铺AT-代数的单性。
• AT-代数的K₀与K₁群同构，并处于一个非分裂的正合序列中：0 → ℤ → K₀ → ℤ[1/5] → 0。
• K-理论通过一个归纳极限系统计算得出，其结构为ℤ⊕ℤ，连接映射由矩阵[[2,3],[3,2]]给出，该矩阵在ℤ上不可逆。
• K-理论的归纳极限系统不分解，表明K-群中存在非平凡的扩张结构。
• AT-子代数的构造依赖于替换规则在第M级生成5^M个不同的矩阵条目，分布在两个分量上，且在旋转下保持非零支撑。
• 由于无理旋转，函数在迭代替换映射下的非零支撑在圆周上稠密，从而确保了单性准则的满足。