[论文解读] Cahen-Gutt moment map, closed Fedosov star product and structure of the automorphism group

Akito Futaki, Hajime Ono|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明，若一个具有非负 Ricci 曲率的紧致 Kähler 流形 admits 一个闭合的 Fedosov 星积，则其全纯向量场的约化李代数必为半单。通过类比 Cahen–Gutt 的矩映射与 Calabi 的极小 Kähler 理论，作者建立了此类流形的结构定理，表明星积闭合性的障碍与全纯向量场代数的半单性密切相关，这与经典 cscK 情况相一致。

ABSTRACT

We show that if a compact Kaehler manifold $M$ of non-negative Ricci curvature admits closed Fedosov star product then the reduced Lie algebra of holomorphic vector fields on $M$ is reductive. This comes in pair with the obstruction previously found by La Fuente-Gravy. More generally we consider the squared norm of Cahen-Gutt moment map as in the same spirit of Calabi functional for the scalar curvature in cscK problem, and prove a Cahen-Gutt version of Calabi's theorem on the structure of the Lie algebra of holomorphic vector fields for extremal Kaehler manifolds. The proof uses a Hessian formula for the squared norm of Cahen-Gutt moment map.

研究动机与目标

• 建立紧致 Kähler 流形在非负 Ricci 曲率下存在闭合 Fedosov 星积的结构性障碍。
• 将 Calabi 的极小 Kähler 结构定理推广至 Cahen–Gutt 矩映射框架，定义一种“Cahen–Gutt 极小” Kähler 度量。
• 证明在此背景下，一个类似于 Futaki 不变量的李代数示性类的消失与全纯向量场代数的半单性之间存在联系。
• 将 Wang（2015）的有限维 Hessian 形式论证推广至 Cahen–Gutt 矩映射框架，以证明结构定理。

提出的方法

• 将 Cahen–Gutt 版本的 Calabi 泛函定义为矩映射的平方范数，类比于 cscK 几何中的标量曲率泛函。
• 利用哈密顿向量场作用下对称联络的李导数，推导出 Kähler 情形下矩映射的显式公式。
• 将 Wang 的形式 Hessian 论证应用于矩映射范数的平方，借助修正的 Lichnerowicz 算子而无需显式计算。
• 证明修正的 Lichnerowicz 算子的非零特征值与矩映射梯度的伴随作用的特征值完全一致。
• 证明修正的 Lichnerowicz 算子的 0-特征空间对应于 Killing 向量场的复化李代数。
• 通过证明其为全纯向量场代数中最大的半单子代数，建立约化全洁向量场代数的半单性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非负 Ricci 曲率的紧致 Kähler 流形上，若存在闭合的 Fedosov 星积，是否意味着其约化全纯向量场代数为半单？
• RQ2 能否在 Cahen–Gutt 矩映射框架下，建立类似于 Calabi 对极小 Kähler 度量的结构定理？
• RQ3 La Fuente-Gravy 定义的李代数示性类在固定 Kähler 类中是否与复结构的选择无关？
• RQ4 全纯向量场代数的半单性与 Cahen–Gutt 矩映射的几何之间存在何种关系？

主要发现

• 若一个具有非负 Ricci 曲率的紧致 Kähler 流形 admits 一个闭合的 Fedosov 星积，则其约化全洁向量场代数为半单。
• 约化全洁向量场代数微分同构于 Killing 向量场代数的复化，即 $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{i}(M) \otimes \mathbb{C}$。
• La Fuente-Gravy 定义的李代数示性类 $\mathrm{Fut}$ 消失当且仅当 Cahen–Gutt 矩映射为常数，且该示性类在固定 Kähler 类中与复结构的选择无关。
• 流形的自同构群具有一个极大紧子群，其李代数为 Killing 向量场的实李代数，且该子群为全自同构群的恒同分支中的最大紧子群。
• Cahen–Gutt 极小 Kähler 流形的结构定理表明，任何包含修正的 Lichnerowicz 算子的 0-特征空间的半单李代数子代数必等于该空间，从而证明其最大性。
• 在一点上进行 $\mathbb{C}P^2$ 的 Blowing up 例子表明，约化全洁向量场代数非半单，从而确认该流形上不存在任何 Kähler 度量可诱导出闭合的 Fedosov 星积。