[论文解读] Calculating the Fundamental Group of the Circle in Homotopy Type Theory

Daniel R. Licata, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 11被引用 7

一句话总结

该论文在同伦类型论中使用路径归纳法和圆的万有覆盖，构造了圆的基本群。证明了 π₁(S¹) 同构于 ℤ，通过类型论方法确立了综合同伦论中的一个基础性结果。

ABSTRACT

Recent work on homotopy type theory exploits an exciting new correspondence between Martin-Lof's dependent type theory and the mathematical disciplines of category theory and homotopy theory. The category theory and homotopy theory suggest new principles to add to type theory, and type theory can be used in novel ways to formalize these areas of mathematics. In this paper, we formalize a basic result in algebraic topology, that the fundamental group of the circle is the integers. Though simple, this example is interesting for several reasons: it illustrates the new principles in homotopy type theory; it mixes ideas from traditional homotopy-theoretic proofs of the result with type-theoretic inductive reasoning; and it provides a context for understanding an existing puzzle in type theory---that a universe (type of types) is necessary to prove that the constructors of inductive types are disjoint and injective.

研究动机与目标

• 在同伦类型论中形式化推导圆的基本群。
• 通过类型论构造方法，证明圆的环路空间同构于整数。
• 在不依赖经典拓扑模型的前提下，提供 π₁(S¹) ≅ ℤ 的综合证明。
• 为同伦类型论中的高阶归纳类型和路径归纳法建立基础工具。

提出的方法

• 使用路径归纳法将圆中的路径定义为类型 S¹ 的元素，并对它们进行推理。
• 通过基点和路径提升，将圆的万有覆盖构造为一个高阶归纳类型。
• 利用圆的基点和环路的递归，定义一个在 S¹ 上的类型族，其纤维同构于整数。
• 通过 S¹ 的递归原理，从 ℤ 到 S¹ 构造一个纤维丛，利用该原理。
• 应用路径归纳法的唯一性原理，证明所有环路均由标准环路生成。
• 证明万有覆盖的总空间是可缩的，从而确认基本群为 ℤ。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在同伦类型论中纯粹地构造圆的基本群？
• RQ2 路径归纳法在刻画圆上环路的结构中起到什么作用？
• RQ3 能否将圆的万有覆盖形式化为一个高阶归纳类型，以证明 π₁(S¹) ≅ ℤ？
• RQ4 圆的递归原理如何促成到 ℤ 的覆盖映射的构造？
• RQ5 在综合同伦论框架下，S¹ 的环路空间与整数之间存在何种关系？

主要发现

• 在同伦类型论中构造出，基本群 π₁(S¹) 同构于整数 ℤ。
• 路径归纳法使得无需经典拓扑工具，即可对圆的环路空间结构进行综合推导。
• 圆的万有覆盖被构造为一个高阶归纳类型，其纤维同构于 ℤ。
• 万有覆盖的总空间是可缩的，证实该覆盖是单连通的。
• 从 ℤ 到 S¹ 的覆盖映射在基本群层面上诱导出一个同构。
• 该证明确立了所有圆上的环路（在同伦意义下）均由标准环路生成。