[论文解读] Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov--Hausdorff Distance

Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文建立了有限度量空间中最小生成树（MST）边长与大直径单体的Gromov–Hausdorff距离之间的新联系。通过利用类似于特征值计算的极小化-极大化公式，该研究通过在缩放单体上的Gromov–Hausdorff距离优化，推导出MST长度、Steiner最小生成树长度和最小填充长度的精确公式。

ABSTRACT

In the present paper we show how one can calculate the lengths of edges of a minimum spanning tree constructed for a finite metric space, in terms of the Gromov-Hausdorff distances from this space to simplices of sufficiently large diameter. Here by simplices we mean finite metric spaces all of whose nonzero distances are the same. As an application, we reduce the problems of finding a Steiner minimal tree length or a minimal filling length to maximization of the total distance to some finite number of simplices considered as points of the Gromov-Hausdorff space.

研究动机与目标

• 建立有限度量空间中最小生成树（MST）边长与单体之间Gromov–Hausdorff距离的数学关系。
• 基于Gromov–Hausdorff距离，为MST、Steiner最小生成树（SMT）和最小填充（MF）长度提供一种新的计算框架。
• 证明这些几何优化问题可归约为在Gromov–Hausdorff空间中对有限个单体点集的总距离最大化问题。
• 形式化一个类似于自伴算子谱理论的MST边长极小化-极大化原理。
• 将该框架扩展至通过在包含输入点集的环境或超结构上进行优化，以计算SMT和MF长度。

提出的方法

• 使用有限度量空间 $ X $ 与直径为1的单体 $ \triangle_{k+1} $ 之间的Gromov–Hausdorff距离 $ d_{GH}(X, \triangle_{k+1}) $。
• 应用对应关系的畸变公式：$ d_{GH}(X,Y) = \frac{1}{2} \inf_R \operatorname{dis}(R) $，其中 $ R $ 遍历 $ X $ 与 $ \triangle_{k+1} $ 之间的对应关系。
• 刻画诱导出 $ X $ 的划分 $ \{X_1, \dots, X_{k+1}\} $ 的最优对应关系 $ R \in \mathcal{R}_{\text{opt}}(\triangle_{k+1}, X) $，从而得到 $ \operatorname{dis}(R) = 1 - \alpha(\{X_i\}) $。
• 推导出 $ 2d_{GH}(\triangle_{k+1}, X) = 1 - \sigma_k $，其中 $ \sigma_k $ 是 $ X $ 的所有 $ (k+1) $-划分中的最大簇间距离。
• 通过 $ \lambda \geq 2\operatorname{diam}X $ 对单体进行缩放，得到 $ \sigma_k = \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) $。
• 对 $ k $ 求和，得到MST长度：$ \operatorname{mst}(X) = \sum_{k=1}^{n-1} \left[ \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) \right] $，该式在 $ \lambda \geq 2\operatorname{diam}X $ 时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否用到单体的Gromov–Hausdorff距离来表达有限度量空间中最小生成树边长？
• RQ2 是否存在一个类似于谱理论中特征值计算的MST边长极小化-极大化公式？
• RQ3 能否通过优化到缩放单体的Gromov–Hausdorff距离来计算Steiner最小生成树的长度？
• RQ4 能否将有限度量空间的最小填充长度简化为Gromov–Hausdorff距离上的最大化问题？
• RQ5 直径缩放参数 $ \lambda $ 在稳定基于Gromov–Hausdorff距离的几何不变量计算中起什么作用？

主要发现

• 有限度量空间 $ X $ 上的最小生成树长度由 $ \operatorname{mst}(X) = \lambda(n-1) - 2\sum_{k=1}^{n-1} d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) $ 给出，对任意 $ \lambda \geq 2\operatorname{diam}X $ 成立。
• 对每个 $ k $，第 $ k $ 大的MST边长对应于 $ \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) $，其中 $ \sigma_k = \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) $ 为第 $ k $ 大的簇间距离。
• Steiner最小生成树长度满足 $ \operatorname{smt}(M,X) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^\infty \left[ \lambda - 2d_{GH}(V, \lambda\triangle_{k+1}) \right] : V \in \mathcal{M}(M,X,d) \right\} $，其中 $ d > \operatorname{smt}(M,X) $ 且 $ \lambda \geq 2d $。
• 有限度量空间 $ M $ 的最小填充长度为 $ \operatorname{mf}(M) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^\infty \left[ \lambda - 2d_{GH}(V, \lambda\triangle_{k+1}) \right] : V \in \mathcal{M}(M,d) \right\} $，其中 $ d > \operatorname{mf}(M) $ 且 $ \lambda \geq 2d $。
• 当 $ m > n $ 时，有 $ d_{GH}(X, \lambda\triangle_m) = \lambda/2 $，因此 $ \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_m) = 0 $，确保MST公式中无穷级数的收敛性。
• 该方法将复杂几何不变量（MST、SMT、MF）的计算简化为对有限个单体构型的Gromov–Hausdorff距离的优化。