[论文解读] Calibration of imperfect mathematical models by multiple sources of data with measurement bias

Mengyang Gu, K. R. Anderson|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2018

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 42被引用 3

一句话总结

本文提出缩放高斯随机过程（S-GaSP），通过联合建模测量偏差与模型差异，利用多源数据改进不完善数学模型的校准。与标准高斯随机过程（GaSP）不同，S-GaSP采用非递增缩放函数，优先选择模型与现实之间L₂损失较小的解，即使在无限数据下也能实现一致的参数估计。该方法在利用卫星干涉图对基劳厄火山地磁模型进行验证时表现良好。

ABSTRACT

Model calibration involves using experimental or field data to estimate the unknown parameters of a mathematical model. This task is complicated by discrepancy between the model and reality, and by possible bias in the data. We consider model calibration in the presence of both model discrepancy and measurement bias using multiple sources of data. Model discrepancy is often estimated using a Gaussian stochastic process (GaSP), but it has been observed in many studies that the calibrated mathematical model can be far from the reality. Here we show that modeling the discrepancy function via a GaSP often leads to an inconsistent estimation of the calibration parameters even if one has an infinite number of repeated experiments and infinite number of observations in a fixed input domain in each experiment. We introduce the scaled Gaussian stochastic process (S-GaSP) to model the discrepancy function. Unlike the GaSP, the S-GaSP utilizes a non-increasing scaling function which assigns more probability mass on the smaller $L_2$ loss between the mathematical model and reality, preventing the calibrated mathematical model from deviating too much from reality. We apply our technique to the calibration of a geophysical model of K\={\i}lauea Volcano, Hawai`i, using multiple radar satellite interferograms. We compare the use of models calibrated using multiple data sets simultaneously with results obtained using stacks (averages). We derive distributions for the maximum likelihood estimator and Bayesian inference, both implemented in the RobustCalibration package available on CRAN. Analysis of both simulated and real data confirm that our approach can identify the measurement bias and model discrepancy using multiple sources of data, and provide better estimates of model parameters.

研究动机与目标

• 解决标准GaSP在同时存在模型差异与测量偏差时校准不完善模型的不一致性问题。
• 开发一种方法，在无限数据条件下通过最小化L₂损失优先选择接近现实的模型，确保参数估计的一致性。
• 实现多源数据（包括重复实验与多样化观测）的联合校准，以更有效地识别偏差与差异。
• 通过最大似然与贝叶斯推断，为校准模型提供统计上合理的不确定性量化框架。
• 在真实世界地球物理数据上展示该方法的有效性，具体为利用卫星干涉图对基劳厄火山形变建模。

提出的方法

• 引入缩放高斯随机过程（S-GaSP），通过模型与现实之间L₂损失的非递增缩放函数，修改差异函数的先验协方差。
• 利用缩放函数为L₂损失较小的模型分配更高的先验概率，从而抑制与观测现实的大幅偏离。
• 构建联合似然模型，同时考虑测量偏差与模型差异，实现对校准参数的同步推断。
• 在S-GaSP框架下推导最大似然估计量与后验分布，支持频率学派与贝叶斯推断。
• 在CRAN的RobustCalibration R包中实现该方法，以支持实际应用与可复现性。
• 使用模拟数据与基劳厄火山的真实雷达卫星干涉图验证该方法，将多源校准与数据堆叠（平均）方法进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 当同时存在模型差异与测量偏差时，高斯过程对差异的建模能否一致估计校准参数？
• RQ2 在无限数据条件下，S-GaSP中使用非递增缩放函数是否相比标准GaSP能提升参数估计的一致性？
• RQ3 多种数据源（包括重复测量）能否比数据堆叠更有效地联合识别测量偏差与模型差异？
• RQ4 S-GaSP框架在真实地球物理建模（如基劳厄火山形变）中表现如何？
• RQ5 在S-GaSP模型下，最大似然估计量与贝叶斯估计量的有限样本性质如何？

主要发现

• 即使在无限数据条件下，标准GaSP仍因对大模型差异的正则化不足，导致校准参数估计不一致。
• S-GaSP通过为模型与现实之间L₂损失较小的模型分配更高的先验概率，确保了估计的一致性。
• 该方法在模拟与真实数据中均成功识别并校正了测量偏差，提升了模型保真度。
• 同时使用多源数据进行校准优于数据堆叠（平均）方法，尤其在检测偏差与降低不确定性方面表现更优。
• RobustCalibration R包实现了方法的实际应用与统计推断，且在基劳厄火山真实卫星干涉图数据上验证了其性能。
• 实证分析表明，S-GaSP相比标准GaSP或堆叠数据方法，能提供更优的参数估计与更可靠的不确定性量化。