[论文解读] Can Almost Everybody be Almost Happy? PCP for PPAD and the Inapproximability of Nash

Yakov Babichenko, Christos H. Papadimitriou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Game Theory and Voting Systems参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一個類似PCP的PPAD猜想，主張尋找$(\varepsilon,\delta)$-近似均衡——即大多數參與者幾乎沒有動機去改變策略——的難度與求解End of the Line問題相當。透過生日重複歸約技術，作者證明若此猜想成立，則兩玩家納什均衡的$n^{O(\log n)}$近似方案在本質上是最優的，從而解決了關於近似納什均衡與具公平收入分配的競爭均衡長期存在的不可近似性問題。

ABSTRACT

We conjecture that PPAD has a PCP-like complete problem, seeking a near equilibrium in which all but very few players have very little incentive to deviate. We show that, if one assumes that this problem requires exponential time, several open problems in this area are settled. The most important implication, proved via a "birthday repetition" reduction, is that the n^O(log n) approximation scheme of [LMM03] for the Nash equilibrium of two-player games is essentially optimum. Two other open problems in the area are resolved once one assumes this conjecture, establishing that certain approximate equilibria are PPAD-complete: Finding a relative approximation of two-player Nash equilibria (without the well-supported restriction of [Das13]), and an approximate competitive equilibrium with equal incomes [Bud11] with small clearing error and near-optimal Gini coefficient.

研究动机与目标

• 解決兩玩家納什均衡不可近似性這一長期懸而未決的開門問題。
• 在假設PPAD的指數時間假設被加強的前提下，證明Lipton等人提出的準多項式時間近似方案是最優的。
• 證明尋找市場清算誤差低且戈ines係數接近最佳的近似均衡是PPAD完全問題。
• 透過$(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit問題引入PPAD的一種新PCP形式化，類比於NP的PCP定理。

提出的方法

• 將$(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit問題定義為一類約束滿足問題，要求至少$1-\delta$比例的約束以$\varepsilon$-近似方式滿足。
• 提出猜想2：從End of the Line到$(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit存在一個準線性歸約，暗示該問題需要$2^{\tilde{\Omega}(n)}$時間。
• 使用生日重複技術將多矩陣博弈歸約為雙矩陣博弈，同時保持近似均衡結構不變。
• 構造從$(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit到兩玩家納什均衡的歸約，表明前者的不可近似性可推出後者的不可近似性。
• 將此歸約應用於等收入下的競爭均衡（CEEI），證明尋找具有低清算誤差與接近最佳戈ines指數的近似CEEI是PPAD完全問題。
• 利用混合策略與收益約束的連續性，將PPAD問題建模為可應用概率檢驗的約束滿足問題。

实验结果

研究问题

• RQ1 兩玩家納什均衡的$n^{O(\log n)}$近似方案是否最優？還是可進一步改進為多項式時間算法？
• RQ2 能否透過類似PCP的PPAD形式化來證明納什均衡的不可近似性，類比於NP的PCP定理？
• RQ3 尋找具有等收入與接近最佳戈ines係數的近似競爭均衡是否為PPAD完全問題？
• RQ4 $(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit問題能否作為PPAD在準線性歸約下的完全問題，從而暗示其指數級難度？
• RQ5 是否存在從End of the Line到$(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit的準線性歸約，從而確立PPAD的PCP？

主要发现

• 在假設猜想2成立的前提下，求解兩玩家遊戲的$\varepsilon$-2Nash問題需要$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$時間，從而證明Lipton等人提出的$n^{O(\log n)}$近似方案在本質上是最優的。
• 生日重複技術成功地將多矩陣博弈歸約為雙矩陣博弈，同時保持近似均衡結構，進而實現不可近似性結果。
• 在相同假設下，尋找兩玩家納什均衡的相對近似（無良好支持限制）是PPAD完全問題。
• 具有等收入、低清算誤差與接近最佳戈ines係數的近似競爭均衡是PPAD完全問題，從而解決了公平分配機制中的一個開門問題。
• $(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit問題被證明是PPAD的一個合理PCP類完全問題候選，暗示PPAD可能具有可概率檢驗的證明。
• 本文確立了：除非存在求解End of the Line的準多項式時間算法，否則不存在從$\varepsilon$-Gcircuit到兩玩家納什均衡的保近似歸約，這與猜想1矛盾。