[论文解读] Can one quantum bit separate any pair of words with zero-error?

Aleksandrs Belovs, J. Andrés Montoya+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文研究了量子有限自动机（QFAs）和仿射有限自动机（AfAs）在零误差或有界误差下分离不同单词对的态效率。研究表明，2-态QFAs可通过非确定性接受方式分离任意单词对，且作者猜想其亦可实现零误差分离。对于不相交的有限语言，当一语言为单元素集时，AfAs仅需2个状态即可实现零误差分离；在一般情况下则需2^{|X|}个状态，其在效率上优于QFAs。

ABSTRACT

Determining the minimum number of states required by a finite automaton to separate a given pair of different words is an important problem. In this paper, we consider this problem for quantum automata (QFAs). We show that 2-state QFAs can separate any pair of words in nondeterministic acceptance mode and conjecture that they can separate any pair also with zero-error. Then, we focus on (a more general problem) separating a pair of two disjoint finite set of words. We show that QFAs can separate them efficiently in nondeterministic acceptance mode, i.e. the number of states is two to the power of the size of the small set. Additionally, we examine affine finite automata (AfAs) and show that two states are enough to separate any pair with zero-error. Moreover, AfAs can separate any pair of disjoint finite sets of words with one-sided bounded error efficiently like QFAs in nondeterministic mode.

研究动机与目标

• 确定量子与仿射有限自动机为实现任意一对不同单词的零误差分离所需最少状态数。
• 研究2-态量子有限自动机（QFAs）是否可实现任意一对不同单词的零误差分离。
• 比较QFAs与仿射有限自动机（AfAs）在分离不相交有限单词集合时的状态效率。
• 探索非确定性接受模式与有界误差模式在QFAs与AfAs中对涉及单词分离的承诺问题的表达能力。
• 为分离单词对与有限语言的高状态效率自动机构建理论界限与构造方法。

提出的方法

• 使用具有实幅值与酉转移矩阵的Moore-Crutchfield量子有限自动机（MCQFAs），构造出在目标单词上接受态幅值为零、其他单词非零的2-态QFAs。
• 采用2-态MCQFAs的张量积构造，模拟对多个单词的并行执行，从而实现仅用2^{|X|}个状态将有限集合X与所有不在X中的单词分离。
• 应用3-态技巧降低AfAs的有界误差接受概率，使单边误差可任意小，且无需增加状态数。
• 引入使用实值、非负及负转移概率的仿射有限自动机（AfAs），使其状态转移比概率或量子模型更具表达力。
• 利用仿射变换保持概率分布的性质，并允许非线性状态演化，从而实现比QFAs更高效的分离。
• 在AfA构造中利用第一状态的最终态幅值来区分输入是否属于语言X，从而实现零误差或有界误差分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 2-态量子有限自动机（QFAs）能否以零误差概率分离任意一对不同单词？
• RQ2 即使超越非确定性接受模型，是否也能仅用两个量子态实现任意一对单词的零误差分离？
• RQ3 QFAs与仿射有限自动机（AfAs）在分离不相交有限语言时，其状态复杂度如何比较？
• RQ4 AfAs在分离单词对与有限语言时，是否能以更优的状态复杂度实现有界误差或零误差分离，优于QFAs？
• RQ5 QFAs与AfAs为将有限集合X与所有其他单词分离，所需最少状态数是多少？其随|X|的增长趋势如何？

主要发现

• 2-态QFAs可通过非确定性接受方式分离任意一对不同单词，其中目标单词的接受幅值为零，其余单词非零。
• 作者推测2-态QFAs亦可实现任意一对不同单词的零误差分离，该推测得到特定构造与对称性证据的支持。
• 在非确定性接受模式下，QFAs需2^{|X|}个状态才能将有限集合X与所有其他单词分离，且仅当输入属于X时，最终态幅值为零。
• 仿射有限自动机（AfAs）仅用2个状态即可实现任意单词对的零误差分离，其状态效率明显优于QFAs。
• 当|X| ≤ |Y|时，AfAs可使用2^{|X|}个状态以单边有界误差分离任意一对不相交的有限语言X与Y；若X为单元素集，则可实现零误差分离。
• 本文构造了2^{|X|}-状态的AfAs，使属于X的输入被接受概率为1，其余输入接受概率至多为2/3，并通过3-态技巧将误差降至任意小值，且无需增加状态数。