[论文解读] Implications of quantum automata for contextuality

Jibran Rashid, Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文证明，零误差量子有限自动机（QFAs）能够以指数级效率优势解决特定的承诺问题——例如佩雷斯-默尔明魔术方阵的变体——相较于任何有界误差的经典有限自动机，即使在无限内存条件下亦无法匹敌。其核心贡献在于证明单量子比特量子自动机可表现出无法被任何有限内存经典模型模拟的上下文性，从而为量子上下文性提供计算意义上的实证证据。

ABSTRACT

We construct zero-error quantum finite automata (QFAs) for promise problems which cannot be solved by bounded-error probabilistic finite automata (PFAs). Here is a summary of our results: - There is a promise problem solvable by an exact two-way QFA in exponential expected time, but not by any bounded-error sublogarithmic space probabilistic Turing machine (PTM). - There is a promise problem solvable by an exact two-way QFA in quadratic expected time, but not by any bounded-error $ o(\log \log n) $-space PTMs in polynomial expected time. The same problem can be solvable by a one-way Las Vegas (or exact two-way) QFA with quantum head in linear (expected) time. - There is a promise problem solvable by a Las Vegas realtime QFA, but not by any bounded-error realtime PFA. The same problem can be solvable by an exact two-way QFA in linear expected time but not by any exact two-way PFA. - There is a family of promise problems such that each promise problem can be solvable by a two-state exact realtime QFAs, but, there is no such bound on the number of states of realtime bounded-error PFAs solving the members this family. Our results imply that there exist zero-error quantum computational devices with a \emph{single qubit} of memory that cannot be simulated by any finite memory classical computational model. This provides a computational perspective on results regarding ontological theories of quantum mechanics \cite{Hardy04}, \cite{Montina08}. As a consequence we find that classical automata based simulation models \cite{Kleinmann11}, \cite{Blasiak13} are not sufficiently powerful to simulate quantum contextuality. We conclude by highlighting the interplay between results from automata models and their application to developing a general framework for quantum contextuality.

研究动机与目标

• 在量子上下文性的背景下，建立量子与经典有限自动机之间的计算分离。
• 证明零误差量子自动机仅使用单量子比特即可解决有界误差经典自动机无法解决的承诺问题，即使在无限内存条件下亦无法实现。
• 提供证据表明，若无指数级内存，经典模拟模型无法充分描述上下文性，从而将自动机理论与基础量子力学相联系。
• 探讨此类计算分离对隐变量理论及量子上下文性模拟的启示。

提出的方法

• 构建可由精确或拉斯维加斯量子有限自动机（QFAs）求解，但无法由有界误差概率有限自动机（PFAs）求解的承诺问题。
• 以佩雷斯-默尔林魔术方阵作为上下文性的典型范例，将其量子关联映射为基于自动机的计算。
• 分析量子与经典自动机模型的时间与内存复杂度，特别关注具有量子头部的双态、实时与单向QFAs。
• 证明在期望时间与空间复杂度上的分离：经典PTM为指数级与次对数空间，而PFAs为线性与无界状态数。
• 引入有限精度量子自动机（FPQA）概念，以评估在现实精度限制下量子优势是否依然存在。
• 将非上下文性不等式的量子值违反与量子自动机运行次数相关联，从而将计算性能与上下文性强度直接联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 零误差量子有限自动机是否能够解决有界误差经典有限自动机无法解决的承诺问题，即使在无限内存条件下？
• RQ2 在上下文性场景中，实现计算分离所需的最小量子内存（如单量子比特）是多少？
• RQ3 量子与经典自动机之间的分离是否意味着即使在有限精度下，经典模拟量子上下文性也存在局限？
• RQ4 在有限精度下，量子自动机是否仍能优于经典自动机求解上下文相关承诺问题？
• RQ5 为实现量子值违反而所需的运行次数与经典模拟的内存成本之间是否存在直接关联？

主要发现

• 存在一个承诺问题，可由精确双态QFA在指数期望时间内求解，但无法被任何有界误差次对数空间概率图灵机求解。
• 另一个承诺问题可由精确双态QFA在二次期望时间内求解，但无法被任何有界误差 o(log log n) 空间PTM在多项式期望时间内求解。
• 同一问题可由具有量子头部的一维拉斯维加斯或精确双态QFA在线性期望时间内求解，展现出时间优势。
• 拉斯维加斯实时QFA可求解任何有界误差实时PFA无法求解的承诺问题，而精确双态QFA可在线性期望时间内求解，而任何精确双态PFA均无法实现。
• 存在一个承诺问题族，每个问题均可由两状态精确实时QFA求解，但任何有界状态实时PFA均无法求解所有成员，表明经典模型需无界状态。
• 结果表明，仅使用单量子比特的量子自动机可表现出任何有限内存经典模型均无法模拟的上下文性，从而为量子上下文性提供了计算实证。