[论文解读] Canonical formulation of Pais-Ulhenbeck action and resolving the issue of branched Hamiltonian

Kaushik Sarkar, Nayem Sk+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出在高阶引力理论中固定边界处的里奇标量（R），以解决正则形式化中的不一致问题，特别是吉布斯-霍金-约克（GHY）边界项的丢失以及哈密顿量分叉的问题。通过在霍罗维茨形式化中引入辅助变量并施加R固定条件，作者建立了高阶振子与引力作用量之间的一一对应关系，从而得到一个唯一且不可通过正则变换与标准形式等价的哈密顿量，该哈密顿量通过高阶项调节了幺正性问题。

ABSTRACT

Shortcomings of Dirac's constrained analysis in the context of fourth order Pais-Uhlenbeck oscillator action and the appearance of badly affected phase-space Hamiltonian for a generalized fourth order oscillator action, following Ostrogradski, Dirac and Horowitz's formalism, require a viable canonical formulation. This is achieved only after fixing appropriate variables at the end points and taking care of the counter surface terms obtained from variational principle. In the process a one-to-one correspondence between different higher order theories has been established. On the other hand the issue of branched Hamiltonian appearing in the presence of velocities with degree higher than two in the Lagrangian, has not been resolved uniquely as yet. However, often such terms appear with higher order theory, gravity in particular. Here we show that canonical formulation of higher order theory takes care of the issue elegantly.

研究动机与目标

• 为解决高阶引力正则形式化中的不一致问题，其中奥斯特罗格拉茨基与狄拉克方法虽固定速度但丢失了吉布斯-霍金-约克（GHY）边界项。
• 解决不同高阶理论之间边界条件的不匹配问题，特别是关于加速度与曲率的作用。
• 通过提出将里奇标量（R）——作为加速度的代理变量——在边界处固定，建立高阶理论的统一框架。
• 证明在边界处固定R与标量-张量等价性及诺特定对称性一致，后者要求R为常数。
• 开发一种修改后的霍罗维茨形式化，以保持GHY项并实现唯一且不可通过正则变换与标准形式等价的哈密顿量形式化。

提出的方法

• 提出在边界处固定里奇标量（R）而非速度，以与标量-张量等价性及诺特定对称性保持一致。
• 修改霍罗维茨的辅助变量技术以适应R固定，确保与高阶作用量的兼容性。
• 利用辅助变量方法构建正则形式化，建立高阶振子与引力作用量之间的一一对应关系。
• 通过修改后的形式化推导哈密顿量，表明其无法通过正则变换与标准奥斯特罗格拉茨基或狄拉克哈密顿量等价。
• 证明高阶项（如R²）可通过抑制多值性来调节分叉哈密顿量，从而恢复幺正性。
• 将该形式化应用于各向同性与均匀宇宙学，表明其可导出具有概率解释的正则薛定谔型方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在奥斯特罗格拉茨基或狄拉克形式化中固定边界处的速度会导致高阶引力中吉布斯-霍金-约克（GHY）边界项的丢失？
• RQ2 如何为高阶引力建立一个保持GHY项并尊重标量-张量等价性的正则形式化？
• RQ3 里奇标量（R）作为边界条件的作用是什么？为何其物理一致性优于固定速度或外曲率？
• RQ4 具有辅助变量的修改后霍罗维茨形式化是否能产生一个与标准形式无正则变换关系的唯一哈密顿量？
• RQ5 高阶曲率项（如R²）如何调节分叉哈密顿量问题，并在量子时间演化中恢复幺正性？

主要发现

• 在边界处固定里奇标量（R）是保持吉布斯-霍金-约克（GHY）边界项所必需的，该边界项与黑洞熵有物理关联。
• 所提出的在边界处固定R的方法与标量-张量等价性一致，因为在乔丹表象与爱因斯坦表象中R必须为常数。
• 高阶引力中的诺特定对称性要求R为常数，为在边界处固定R提供了理论依据。
• 修改后的霍罗维茨形式化在高阶振子与引力作用量之间建立了一一对应关系，得到一个与标准形式无正则变换关系的唯一哈密顿量。
• 高阶项如R²可通过抑制多值性来调节分叉哈密顿量，使薛定谔方程具有明确的概率解释。
• 由此产生的正则形式化导致半经典近似强烈聚焦于经典暴胀解，支持其物理可行性。