[论文解读] Canonical metric on the space of symplectic invariant tensors and its applications

Shigeyuki Morita|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文在曲面第一同调群张量幂的辛不变量空间上引入了一个典范内积，使得这些空间能够被完全正交分解为对称群的不可约表示。关键结果是利用辛张量不变量上典范度量的特征值，系统地分类了所有亏格下模空间上同调中Mumford-Morita-Miller重言类之间的关系。

ABSTRACT

Let $Σ_g$ be a closed oriented surface of genus g and let $H_\mathbb{Q}$ denote $H_1(Σ_g;\mathbb{Q})$ which we understand to be the standard symplectic vector space over $\mathbb{Q}$ of dimension $2g$. We introduce a canonical metric on the space $(H_\mathbb{Q}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}}$ of symplectic invariant tensors by analyzing the structure of the vector space $\mathbb{Q}\mathcal{D}^{\ell}(2k)$ generated by linear chord diagrams with $2k$ vertices. This space, equipped with a certain inner product, serves as a universal model for $(H^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}}$ for any $g$. We decompose $\mathbb{Q}\mathcal{D}^\ell(2k)$ as an orthogonal direct sum of eigenspaces $E_λ$ where $λ$ is indexed by the set of all the Young diagrams with $k$ boxes. We give a formula for the eigenvalue $μ_λ$ of $E_λ$ and thereby we obtain a complete description of how the spaces $(H_\mathbb{Q}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}}$ degenerate according as the genus decreases from the stable range $g\geq k$ to the last case $g=1$ with the largest eigenvalue $2g(2g+1) \cdots (2g+k-1)$. As an application of our canonical metric, we obtain certain relations among the Mumford-Morita-Miller tautological classes, in a systematic way, which hold in the tautological algebra in cohomology of the moduli space of curves. We also indicate other possible applications such as characteristic classes of transversely symplectic foliations and a project with T. Sakasai and M. Suzuki where we study the structure of the symplectic derivation Lie algebra.

研究动机与目标

• 在空间 $ H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k} $ 上定义一个典范内积，其中 $ H_{\mathbb{Q}} = H_1(\Sigma_g; \mathbb{Q}) $。
• 将该空间分解为对称群 $ \mathfrak{S}_{2k} $ 的正交不可约表示，其由杨图索引。
• 系统地推导模空间曲线上同调中Mumford-Morita-Miller重言类之间的关系。
• 提供当 $ g $ 从稳定范围下降至 $ g=1 $ 时，辛不变量空间退化行为的亏格相关描述。
• 为辛李代数中的调和代表元以及Kontsevich图上同调等上同调理论奠定基础。

提出的方法

• 在 $ H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k} $ 上定义一个对称双线性形式 $ \mu^{\otimes 2k} $，其在 $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q}) $-不变子空间 $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} $ 上限制为正定内积。
• 分析由 $ 2k $ 个顶点的线性弦图生成的向量空间 $ \mathbb{Q}\mathcal{D}^\ell(2k) $ 的结构，以构造典范度量。
• 建立正交分解 $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} \cong \bigoplus_{|\lambda|=k, h(\lambda)\leq g} U_\lambda $，其中每个 $ U_\lambda $ 是与 $ (\lambda^\delta)_{\mathfrak{S}_{2k}} $ 同构的 $ \mathfrak{S}_{2k} $-不可约模。
• 利用不可约分量 $ U_\lambda $ 上度量的特征值，推导 $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ 中重言类之间的零化关系。
• 将该分解应用于计算 $ g \leq 3k-1 $ 时的显式关系，表明重言代数由前 $ [g/3] $ 个 MMM 类生成。
• 提出一个框架，通过典范度量研究辛李代数（如 $ \mathfrak{h}_{g,1} $ 和 Gel'fand-Fuks 上同调）中上同调类的调和代表元。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ g $ 从 $ g \geq k $ 降至 $ g=1 $ 时，$ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q}) $-不变张量在 $ H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k} $ 中的空间如何分解？
• RQ2 在 $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} $ 上的典范内积结构是什么？它与 $ \mathfrak{S}_{2k} $ 的表示理论有何关系？
• RQ3 能否利用典范度量推导出 $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ 中Mumford-Morita-Miller重言类之间的一组完整关系？
• RQ4 不可约分量 $ U_\lambda $ 上度量的特征值在决定重言代数结构中的作用是什么？
• RQ5 典范度量能否用于定义辛李代数（如 $ \mathfrak{h}_{g,1} $）中上同调类的调和代表元？

主要发现

• 在 $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} $ 上的典范内积是正定的，诱导出完全的正交分解，将其分解为不可约 $ \mathfrak{S}_{2k} $-模 $ U_\lambda \cong (\lambda^\delta)_{\mathfrak{S}_{2k}} $，其中 $ |\lambda|=k $ 且 $ h(\lambda) \leq g $。
• 空间 $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} $ 的维数为 $ \sum_{|\lambda|=k, h(\lambda)\leq g} \dim(\lambda^\delta)_{\mathfrak{S}_{2k}} $，当 $ g=1 $ 时，其维数为第 $ k $ 个卡塔兰数 $ \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} $。
• 当 $ g \leq 3k-1 $ 时，在 $ \mathcal{R}^{2k}(\mathcal{M}_g) $ 中有关系 $ \alpha_{\bar{\Gamma}_\xi} = 0 $，其中 $ \xi $ 是 $ E_{[3k]} $ 的非平凡元素，且特征值 $ \mu_{[3k]} = 2g(2g-2)\cdots(2g-6k+2) $ 起关键作用。
• 重言代数 $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ 由前 $ [g/3] $ 个Mumford-Morita-Miller类生成，此结论通过 $ \lambda = [3k], [3k-1,1], [3k-2,2] $ 等情形下关系的零化现象在 $ g $ 递减时得到验证。
• 典范度量提供了一套系统方法，用于推导重言类之间的关系，其中首例 $ \lambda = [3k] $ 暗示 $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ 由前 $ [g/3] $ 个MMM类生成。
• 本文猜想所推导的关系对 $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ 和 $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_{g,*}) $ 构成一组完整关系，提示辛张量不变量与重言关系之间存在深层次的结构联系。