[论文解读] Canonical orientations for moduli spaces of $G_2$-instantons with gauge group SU(m) or U(m)

Dominic Joyce, Markus Upmeier|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文通过构造与狄拉克算子行列式相关的定向双重丛的典范平凡化，为紧致 $G_2$-流形上结构群为 $Σμ(m)$ 或 $Σμ(m)$ 的 $G_2$-瞬子模空间建立了典范定向。利用狄拉克行列式的一个固定定向以及流形上的旗结构，作者在 $G_2$-瞬子模空间上诱导出典范定向，从而在唐纳森-塞加尔计划中实现了带符号计数的枚举不变量的定义。

ABSTRACT

Suppose $(X, g)$ is a compact, spin Riemannian 7-manifold, with Dirac operator $D$. Let $G$ be SU$(m)$ or U$(m)$, and $E o X$ be a rank $m$ complex bundle with $G$-structure. Write ${\mathcal B}_E$ for the infinite-dimensional moduli space of connections on $E$, modulo gauge. There is a natural principal ${\mathbb Z}_2$-bundle $O^D_E o{\mathcal B}_E$ parametrizing orientations of det$\,D_{{ m Ad }A}$ for twisted elliptic operators $D_{{ m Ad }A}$ at each $[A]$ in ${\mathcal B}_E$. A theorem of Walpuski shows $O^D_E$ is trivializable. We prove that if we choose an orientation for det$\,D$, and a flag structure on X in the sense of Joyce arXiv:1610.09836, then we can define canonical trivializations of $O^D_E$ for all such bundles $E o X$, satisfying natural compatibilities. Now let $(X,φ,g)$ be a compact $G_2$-manifold, with d$(*φ)=0$. Then we can consider moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$ of $G_2$-instantons on $E o X$, which are smooth manifolds under suitable transversality conditions, and derived manifolds in general, with ${\mathcal M}_E^{G_2}\subset{\mathcal B}_E$. The restriction of $O^D_E$ to ${\mathcal M}_E^{G_2}$ is the ${\mathbb Z}_2$-bundle of orientations on ${\mathcal M}_E^{G_2}$. Thus, our theorem induces canonical orientations on all such $G_2$-instanton moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$. This contributes to the Donaldson-Segal programme arXiv:0902.3239, which proposes defining enumerative invariants of $G_2$-manifolds $(X,φ,g)$ by counting moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$, with signs depending on a choice of orientation. This paper is a sequel to Joyce-Tanaka-Upmeier arXiv:1811.01096, which develops the general theory of orientations on gauge-theoretic moduli spaces, and gives applications in dimensions 3,4,5 and 6. A third paper Cao-Gross-Joyce arXiv:1811.09658 studies orientations on moduli spaces in dimension 8.

研究动机与目标

• 解决具有酉群或特殊酉群规范群的 $G_2$-瞬子模空间一致定向选择的问题。
• 为这些模空间提供一个独立于任意选择的典范、几何自然的定向。
• 通过支持唐纳森-塞格爾计划，实现对 $G_2$-流形的带符号枚举不变量的构造。
• 将典范定向理论从低维规范场论推广至七维情形，特别针对 $G_2$-瞬子。
• 建立与导出几何及规范理论模问题中切除定理兼容的框架。

提出的方法

• 通过扭曲狄拉克算子 $\not{\text{D}}^{g}_{\mathop{\rm Ad}A}$ 的行列式线丛，构造连接模空间 ${\mathcal{B}}_E$ 上的定向双重丛 $O^{ ot{\text{D}}^g}_E$。
• 利用 $\mathop{\rm det}\not{\text{D}}^g$ 的固定定向以及自旋 7-流形 $X$ 上的旗结构，定义 $O^{ ot{\text{D}}^g}_E$ 的典范平凡化。
• 应用切除定理与定向同构的函子性，确保在不同丛与流形之间的一致性。
• 通过限制，将全模空间 ${\mathcal{B}}_E$ 上的典范平凡化传递至 $G_2$-瞬子子空间 ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$。
• 利用管状邻域、自旋微分同胚与丛同构的拼接构造，比较不同图册与流形之间的定向。
• 通过映射 $E \mapsto E \oplus \Lambda^m E^*$ 将结果从 $\mathop{\rm SU}(m)$ 扩展至 $\mathop{\rm U}(m)$ 丛，保持典范定向结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有规范群 $\mathop{\rm SU}(m)$ 或 $\mathop{\rm U}(m)$ 的 $G_2$-瞬子模空间定义一个典范、几何自然的定向？
• RQ2 在紧致自旋 7-流形上，何种几何数据可支持狄拉克算子行列式相关定向双重丛的典范平凡化构造？
• RQ3 在 $G_2$-瞬子模空间的背景下，典范定向在拼接或切除操作下如何表现？
• RQ4 能否以保持相容性与函子性的方式，将典范定向构造从 $\mathop{\rm SU}(m)$ 扩展至 $\mathop{\rm U}(m)$ 丛？
• RQ5 旗结构在消除 $G_2$-瞬子模空间定向选择歧义的过程中起到何种作用？

主要发现

• 当选择 $\mathop{\rm det}\not{\text{D}}^g$ 的固定定向与 $X$ 上的旗结构时，模空间 ${\mathcal{B}}_E$ 上的定向双重丛 $O^{ ot{\text{D}}^g}_E$ 被典范平凡化。
• 该典范平凡化与切除同构相容，确保在不同丛与流形之间的一致性。
• 将典范定向限制到 $G_2$-瞬子子空间 ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$ 上，可得到每个此类模空间上的典范定向。
• ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$ 上的典范定向独立于任意选择，并在微分同胚与丛运算下保持函子性。
• 通过 $E \mapsto E \oplus \Lambda^m E^*$ 构造，该构造可从 $\mathop{\rm SU}(m)$ 扩展至 $\mathop{\rm U}(m)$ 丛，同时保持典范定向性质。
• 典范定向诱导出对 $G_2$-瞬子的良定义带符号计数，支持了 $G_2$-流形枚举不变量的唐纳森-塞格爾计划。