[论文解读] Canonical quantization of 1+1-dimensional Yang-Mills theory: An operator-algebraic approach

Arnaud Brothier, Alexander Stottmeister|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2019

Quantum many-body systems参考文献 145被引用 9

一句话总结

本文提出了1+1维杨-米尔斯理论的严格算子代数形式化规范量子化，采用代数量子场论技术构建了量子希尔伯特空间与可观测量。关键成果是通过可观测量的C*-代数上的类福克表示，完整表征了该量子理论，为低维非阿贝尔规范场论建立了数学上一致的框架。

ABSTRACT

We present a mathematically rigorous canonical quantization of Yang-Mills theory in 1+1 dimensions (YM$_{1+1}$) by operator-algebraic methods. The latter are based on Hamiltonian lattice gauge theory and multi-scale analysis via inductive limits of $C^{*}$-algebras which are applicable in arbitrary dimensions. The major step, restricted to one spatial dimension, is the explicitly construction of the spatially-localized von Neumann algebras of time-zero fields in the time gauge in representations associated with scaling limits of Gibbs states of the Kogut-Susskind Hamiltonian. We relate our work to existing results about YM$_{1+1}$ and its counterpart in Euclidean quantum field theory (YM$_{2}$). In particular, we show that the operator-algebraic approach offers a unifying perspective on results about YM$_{1+1}$ obtained by Dimock as well as Driver and Hall, especially regarding the existence of dynamics. Although our constructions work for non-abelian gauge theory, we obtain the most explicit results in the abelian case by applying the results of our recent companion article. In view of the latter, we also discuss relations with the construction of unitary representations of Thompson's groups by Jones. To understand the scaling limits arising from our construction, we explain our findings via a rigorous adaptation of the Wilson-Kadanoff renormalization group, which connects our construction with the multi-scale entanglement renormalization ansatz (MERA). Finally, we discuss potential generalizations and extensions to higher dimensions ($d+1\geq 3$).

研究动机与目标

• 发展1+1维杨-米尔斯理论的数学严格规范量子化。
• 利用代数量子场论方法解决非阿贝尔规范场论中规范不变性与算子序次的挑战。
• 从第一性原理出发，构建明确定义的量子希尔伯特空间与可观测量代数。
• 为低维规范系统提供与代数量子场论原则相容的框架。

提出的方法

• 采用算子代数方法，利用由 smeared 场算子生成的C*-代数来表述理论。
• 通过高斯定律约束对经典相空间进行约化，该约束在代数上以表示条件实现。
• 利用C*-代数上合适的态，通过GNS构造在希尔伯特空间上构建类福克表示。
• 从经典约束代数推导出量子哈密顿量，确保与规范对称性的一致性。
• 分析量子哈密顿量的谱，以识别物理态与能级。
• 证明在无相互作用时，该理论与自由场论酉等价，确认在自由极限下的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用代数方法严格地形式化1+1维杨-米尔斯理论的规范量子化？
• RQ2 该框架下量子可观测量代数的结构是什么？
• RQ3 在C*-代数形式化中，规范约束如何在量子层面实现？
• RQ4 物理希尔伯特空间是什么？它与经典构型空间有何关系？
• RQ5 该量子理论是否允许一个尊重规范不变性与酉性的福克表示？

主要发现

• 该量子理论通过C*-代数上规范不变态的GNS构造，在希尔伯特空间上被构造为福克表示。
• 证明了量子哈密顿量是良定义且自伴的，在自由极限下具有离散谱。
• 物理态恰好是被量子高斯定律算子湮灭的态，从而确保了规范不变性。
• 在无相互作用时，该理论表现出类自由粒子的谱结构，与已知结果一致。
• 代数结构确保了在阿贝尔极限下与自由场论的酉等价性，验证了该方法的有效性。