[论文解读] Cantor spectrum for a class of $C^2$ quasiperiodic Schrödinger operators

Yiqian Wang, Zhenghe Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用 5

一句话总结

本论文证明，对于具有恰好两个非退化临界点（一个极小值和一个极大值）的 $C^2$ 双周期薛定谔算符，当耦合常数 $\lambda > \lambda_0$ 且频率 $\alpha$ 为丢番图数时，其谱为康托集。证明基于一种新颖的动力系统方法，分析 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 柯西积的渐近稳定与不稳定方向，并进一步表明在某些单参数族的此类柯西积中，一致双曲性是开且稠密的。

ABSTRACT

We show that for a class of $C^2$ quasiperiodic potentials and for any Diophantine frequency, the spectrum of the corresponding Schrödinger operators is Cantor. Our approach is of purely dynamical systems, which depends on a detailed analysis of asymptotic stable and unstable directions. We also apply it to general $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ cocycles, and obtain that uniform hyperbolic systems form a open and dense set in some one-parameter family.

研究动机与目标

• 建立具有特定势结构的 $C^2$ 双周期薛定谔算符谱为康托集的存在性。
• 证明当耦合常数 $\lambda > \lambda_0$ 时，若频率 $\alpha$ 为丢番图数，则谱 $\Sigma_{\alpha,\lambda,v}$ 为康托集。
• 发展一种完全基于动力系统的方法，依赖于 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 柯西积中的渐近稳定与不稳定方向。
• 将结果推广至一般的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 柯西积，表明在某些单参数族中，一致双曲性在参数空间中为开且稠密。

提出的方法

• 分析与算符相关的薛定谔柯西积 $ (\alpha, A^{(E-\lambda v)}) $，其中 $ A^{(E-\lambda v)}(x) = \begin{pmatrix} E - \lambda v(x) & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $。
• 对由迭代矩阵积导出的柯西积转移矩阵 $ A_n^{(E-\lambda v)}(x) $ 的渐近稳定与不稳定方向进行详细分析。
• 利用势函数 $ v \in C^2 $ 恰好具有两个非退化临界点（一个极小值，一个极大值）的结构，控制柯西积在极值附近的行为。
• 证明当 $ \lambda $ 足够大时，通过证明具有统一双曲性的能量 $ E $ 的集合在谱中为开且稠密，从而得出谱为康托集。
• 将该方法应用于一类形式为 $ B^{(t,\lambda)}(x) = \begin{pmatrix} \lambda(x) & 0 \\ 0 & \lambda(x)^{-1} \end{pmatrix} \cdot R_{\psi(x,t)} $ 的一般 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 柯西积，其中 $ \psi $ 满足特定的几何与正则性条件。
• 证明在这些条件下，对于 $ \lambda > \lambda_0 $，使得 $ (\alpha, B^{(t,\lambda)}) $ 为一致双曲性的参数 $ t $ 的集合在参数空间 $ T $ 中为开且稠密。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有恰好两个非退化临界点的 $ C^2 $ 双周期薛定谔算符，当耦合常数足够大时，其谱是否成为康托集？
• RQ2 能否仅通过基于稳定与不稳定方向的动力系统方法，而不依赖次调和性或科他尼理论，建立康托谱性质？
• RQ3 对于具有特定几何结构的单参数族 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 柯西积，一致双曲性参数的集合是否为开且稠密？
• RQ4 该结果能否推广至其他柯西积模型，例如正交多项式在单位圆上的情形？

主要发现

• 对于任意满足 $ \tau > 2 $ 的丢番图频率 $ \alpha \in DC_\tau $，以及任意具有恰好两个非退化临界点（一个极小值和一个极大值）的 $ C^2 $ 势函数 $ v $，存在 $ \lambda_0 = \lambda_0(\alpha, v) > 0 $，使得对所有 $ \lambda > \lambda_0 $，谱 $ \Sigma_{\alpha,\lambda,v} $ 为康托集。
• 该证明依赖于 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 柯西积中渐近稳定与不稳定方向的全新动力系统分析，避免了使用次调和性或科他尼理论等技术。
• 在给定 $ \lambda(x) $ 和 $ \psi(x,t) $ 的条件下，一致双曲柯西积 $ (\alpha, B^{(t,\lambda)}) $ 的集合在参数空间 $ T $ 中为开且稠密，且 $ \lambda > \lambda_0 $。
• 该结果适用于广泛的 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 柯西积类，包括形式为 $ B^{(t,\lambda)}(x) = \mathrm{diag}(\lambda(x), \lambda(x)^{-1}) \cdot R_{\psi(x,t)} $ 的柯西积，前提是 $ \lambda(x) $ 远离零，且 $ \psi $ 满足所述几何与正则性条件。
• 该方法导出一个关于泽戈柯西积的推论：对于 $ f = \lambda e^{2\pi i[\theta(x) + kx]} $，其中 $ \theta \in C^2 $，且 $ \theta(x) - \theta(x - \alpha) $ 的类型与 $ v $ 相同，当 $ \lambda_0 < \lambda < 1 $ 时，使得 $ (\alpha, A^{(E,f)}) $ 为一致双曲性的能量 $ E \in \partial\mathbb{D} $ 的集合在 $ \partial\mathbb{D} $ 中为开且稠密。