[论文解读] Capacitated Center Problems with Two-Sided Bounds and Outliers

Hu Ding, Lunjia Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用 4

一句话总结

本论文首次为具有上下界容量约束及异常值处理的容量限制$k$-中心问题提出了常数因子近似算法。它提出了一种简单的组合算法，其近似比优于以往基于线性规划（LP）的方法，尤其在无中心数量约束的情况下表现更优，同时在供应商和异常值变体中也提供了更优的界。

ABSTRACT

In recent years, the capacitated center problems have attracted a lot of research interest. Given a set of vertices $V$, we want to find a subset of vertices $S$, called centers, such that the maximum cluster radius is minimized. Moreover, each center in $S$ should satisfy some capacity constraint, which could be an upper or lower bound on the number of vertices it can serve. Capacitated $k$-center problems with one-sided bounds (upper or lower) have been well studied in previous work, and a constant factor approximation was obtained. We are the first to study the capacitated center problem with both capacity lower and upper bounds (with or without outliers). We assume each vertex has a uniform lower bound and a non-uniform upper bound. For the case of opening exactly $k$ centers, we note that a generalization of a recent LP approach can achieve constant factor approximation algorithms for our problems. Our main contribution is a simple combinatorial algorithm for the case where there is no cardinality constraint on the number of open centers. Our combinatorial algorithm is simpler and achieves better constant approximation factor compared to the LP approach.

研究动机与目标

• 填补在同时具有下界和上界容量约束的$k$-中心问题中近似算法的空白。
• 在现实约束下研究该问题：簇大小具有统一的下界和非统一的上界。
• 将框架扩展以包含可被排除在聚类之外的异常值顶点。
• 在现有基于LP的方法基础上，提供更优的近似保证，尤其在无中心数量约束的情况下。
• 将结果推广至具有容量约束和异常值的$k$-供应商问题。

提出的方法

• 为无中心数量约束的$k$-中心问题（同时具有下界和上界）提出一种新颖的组合算法，避免了复杂的LP舍入过程。
• 通过骨架数据结构使用树分解方法，将问题简化为树实例，从而支持递归构造。
• 定义整数局部距离-2转移以建模满足容量约束的可行中心选择。
• 基于根节点容量与子节点上界之间的关系，进行案例分析，以确保可行性和近似性。
• 在$U_r > U_{u^*}$的情况下修改上界，使其简化为更简单的情形，同时保持近似保证。
• 利用先前关于骨架构造和距离-24转移的研究成果，将其适应于存在下界的情形，以处理异常值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为同时具有下界和上界容量约束的$k$-中心问题实现常数因子近似？
• RQ2 异常值的引入如何影响具有双侧约束的容量限制中心问题的可近似性？
• RQ3 组合算法能否在近似比和简洁性方面优于现有的基于LP的方法？
• RQ4 非统一上界和统一下界对近似算法设计有何影响？
• RQ5 该框架能否扩展至具有双侧约束和异常值的$k$-供应商问题？

主要发现

• 对于具有非统一上界的$(L, \{U_u\}, k)$-中心问题，获得了时间复杂度为多项式时间的9-近似算法。
• 在统一上界情况下，获得了6-近似，优于以往基于LP的结果。
• 对于$(L, \{U_u\}, k)$-供应商问题，获得了13-近似，统一情况下为9-近似。
• 对于异常值版本，获得了25-近似（$(L, \{U_u\}, k, p)$-中心问题），统一情况下为23-近似。
• 在软容量变体中，对$(L, \{U_u\}, \text{soft-}k, p)$-中心问题和$(L, U, \text{soft-}k, p)$-中心问题均实现了13-近似。
• 所提出的组合算法在近似因子上优于基于LP的方法，尤其在无中心数量约束的设置下表现更优。