[论文解读] Capturing Dynamics of Time-Varying Data via Topology

Lu Xian, Henry Adams+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 50被引用 5

一句话总结

本文提出了crocker stack，一种用于时变度量空间的新型三维拓扑摘要，结合了时间、尺度和拓扑持久性信息。证明了crocker stack在Gromov-Hausdorff距离下的连续性，展示了其稳定性，并通过实验表明，尽管计算成本更高，它在生物聚集模型的参数恢复任务中优于传统序参数。

ABSTRACT

One approach to understanding complex data is to study its shape through the lens of algebraic topology. While the early development of topological data analysis focused primarily on static data, in recent years, theoretical and applied studies have turned to data that varies in time. A time-varying collection of metric spaces as formed, for example, by a moving school of fish or flock of birds, can contain a vast amount of information. There is often a need to simplify or summarize the dynamic behavior. We provide an introduction to topological summaries of time-varying metric spaces including vineyards [19], crocker plots [56], and multiparameter rank functions [37]. We then introduce a new tool to summarize time-varying metric spaces: a crocker stack. Crocker stacks are convenient for visualization, amenable to machine learning, and satisfy a desirable continuity property which we prove. We demonstrate the utility of crocker stacks for a parameter identification task involving an influential model of biological aggregations [58]. Altogether, we aim to bring the broader applied mathematics community up-to-date on topological summaries of time-varying metric spaces.

研究动机与目标

• 提供对分析时变度量空间的拓扑工具的全面概述，包括vineyards、crocker图和多参数秩函数。
• 通过引入一种新表示形式——crocker stack，解决对动态数据稳定且适合机器学习的摘要的需求。
• 在涉及群体行为模型的真实世界参数识别任务中，评估crocker stack的判别能力。
• 建立crocker stack在Gromov-Hausdorff度量下的理论连续性性质，确保对输入数据的微小扰动具有鲁棒性。

提出的方法

• 通过在时间和尺度上计算持久同调来构建crocker stack，使用Vietoris-Rips复形在每个时间步和尺度参数下构建持久同调图谱。
• 引入一种三维可视化，其中x轴表示时间，y轴表示尺度（epsilon），z轴表示持久同调群的秩，形成持久同调图谱的堆叠。
• 将crocker stack函数 $ f_{\mathbf{X}}(t, \varepsilon, \alpha) $ 定义为在时间 $ t $、尺度 $ \varepsilon $ 和平滑参数 $ \alpha $ 下持久同调群的秩，从而实现向量化以适配机器学习。
• 证明了crocker stack在Gromov-Hausdorff距离下的连续性：若两个时变度量空间在 $ d_{\mathrm{GH}}^\infty $ 下接近，则其crocker stack以受控方式接近，通过秩函数的不等式关系实现。
• 在每个时间和尺度下使用持久同调图谱之间的 $ L_p $-Wasserstein 距离，并对时间进行 $ L_q $-平均化，以定义适用于机器学习的 $ (p,q) $-度量。
• 在著名的生物聚集模型上进行计算实验，比较crocker stack和图谱与传统序参数在参数恢复方面的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使时变数据的拓扑摘要稳定并适用于机器学习应用？
• RQ2 与传统序参数相比，crocker stack在恢复生物聚集模型参数方面的判别能力如何？
• RQ3 crocker stack在Gromov-Hausdorff度量下的连续性与vineyards或crocker图等其他拓扑摘要相比如何？
• RQ4 不同 $ (p,q) $-度量对向量化crocker stack在下游机器学习任务中的影响是什么？
• RQ5 像持久性图像或持久性景观这样的时变拓扑描述子能否在动态数据的分类任务中有效使用？

主要发现

• 证明了crocker stack在Gromov-Hausdorff距离下具有连续性：若两个时变度量空间在 $ \delta/2 $ 范围内，则其crocker stack满足 $ f_{\mathbf{X}}(t,\varepsilon,\alpha+\delta) \leq f_{\mathbf{Y}}(t,\varepsilon,\alpha) $，反之亦然。
• crocker stack在生物聚集模型的参数恢复任务中优于传统序参数，表明其具有更高的判别能力。
• 计算crocker图谱和stack的耗时约为计算序参数的两个数量级，这是由于需在每个时间步进行持久同调计算。
• crocker stack可向量化且适合机器学习，而其他一些稳定摘要（如多参数秩函数或vineyards）缺乏直接的向量化方式。
• 与需要堆叠多个持久同调图谱的vineyards相比，crocker stack提供了更直观的三维可视化，且比crocker图谱更稳定。
• $ (p,q) $-度量框架通过结合持久同调图谱之间的 $ L_p $-Wasserstein 距离与时间上的 $ L_q $-平均化，实现了对crocker stack的灵活比较。