[论文解读] Stable Signatures for Dynamic Graphs and Dynamic Metric Spaces via Zigzag Persistence

Woojin Kim, Facundo Mémoli|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文提出 formigrams——用于动态图和度量空间的时间依赖聚类摘要——通过使用zigzag持久性生成稳定且可计算的条形码。证明了条形码之间的瓶颈距离可作为动态图之间距离的多项式时间可计算下界，确保在输入扰动下具有稳定性。

ABSTRACT

When studying flocking/swarming behaviors in animals one is interested in quantifying and comparing the dynamics of the clustering induced by the coalescence and disbanding of animals in different groups. In a similar vein, studying the dynamics of social networks leads to the problem of characterizing groups/communities as they form and disperse throughout time. Motivated by this, we study the problem of obtaining persistent homology based summaries of time-dependent data. Given a finite dynamic graph (DG), we first construct a zigzag persistence module arising from linearizing the dynamic transitive graph naturally induced from the input DG. Based on standard results, we then obtain a persistence diagram or barcode from this zigzag persistence module. We prove that these barcodes are stable under perturbations in the input DG under a suitable distance between DGs that we identify. More precisely, our stability theorem can be interpreted as providing a lower bound for the distance between DGs. Since it relies on barcodes, and their bottleneck distance, this lower bound can be computed in polynomial time from the DG inputs. Since DGs can be given rise by applying the Rips functor (with a fixed threshold) to dynamic metric spaces, we are also able to derive related stable invariants for these richer class of dynamic objects. Along the way, we propose a summarization of dynamic graphs that captures their time-dependent clustering features which we call formigrams. These set-valued functions generalize the notion of dendrogram, a prevalent tool for hierarchical clustering. In order to elucidate the relationship between our distance between two DGs and the bottleneck distance between their associated barcodes, we exploit recent advances in the stability of zigzag persistence due to Botnan and Lesnick, and to Bjerkevik.

研究动机与目标

• 开发一种基于持久同调的稳定摘要方法，用于随时间演化的网络和度量空间，以捕捉群体形成与解散等聚类动态。
• 定义一类新对象称为formigrams，将其作为树状图的推广，用于建模动态图中的时间依赖聚类。
• 建立一个稳定性定理，将动态图之间的距离与它们的持久性条形码之间的瓶颈距离联系起来。
• 通过Rips构造将该框架扩展至动态度量空间，从而为更丰富的时序数据提供稳定不变量。
• 提供一种计算高效的动态图比较方法，利用从条形码导出的多项式时间可计算下界。

提出的方法

• 从动态图的线性化传递闭包构建zigzag持久性模，以编码时间上的聚类演化。
• 应用标准zigzag持久性理论，从zigzag模中推导出持久性条形码或条形图。
• 基于边和顶点的时间戳扰动，定义合适的动态图间距离，确保在小变化下保持稳定性。
• 利用Botnan与Lesnick以及Bjerkevik的最新稳定性结果，证明条形码之间的瓶颈距离是输入图距离的下界。
• 对动态度量空间应用固定阈值的Rips函子，生成动态图，从而将稳定性扩展至度量空间的动力学。
• 将所得条形码用作图和度量空间中随时间演化的聚类模式的稳定且信息丰富的摘要。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们如何构建一种稳定且基于持久同调的动态图摘要，以捕捉聚类行为的演化？
• RQ2 何种动态图之间的距离度量可确保在小扰动下诱导出的条形码保持稳定？
• RQ3 条形码之间的瓶颈距离与动态图之间底层距离的关系是什么？
• RQ4 formigrams能否作为传统树状图的时间感知推广，用于动态聚类分析？
• RQ5 能否通过Rips构造将该稳定性框架从动态图扩展至动态度量空间？

主要发现

• 本文证明了条形码之间的瓶颈距离可作为动态图之间距离的多项式时间可计算下界。
• 引入了formigrams作为树状图的推广，用于捕捉时间依赖聚类，从而支持对动态群体结构的更丰富分析。
• 稳定性定理确保输入动态图的微小扰动仅导致对应条形码在瓶颈距离下产生有界变化。
• 通过使用固定阈值的Rips函子，该框架可扩展至动态度量空间，为这些空间生成稳定不变量。
• 使用zigzag持久性可建模随时间发生的聚类合并与分裂，从而捕捉复杂的动态行为。
• 利用Botnan与Lesnick以及Bjerkevik的理论结果，建立了所提方法的稳定性，使其建立在zigzag持久性领域的最新进展之上。