[论文解读] Cartan Connections Associated to a $β$-Conformal Change in Finsler Geometry

S. H. Abed|ArXiv.org|Jan 17, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文推导了在广义 $\beta$-共形变换 $\overline{L} = e^{\sigma(x)}L + \beta(x,y)$ 下，Finsler 流形上 Cartan 连接与基本几何对象（喷射、非线性联络、 torsion 张量）之间的显式公式，该变换统一了共形变换、$\beta$-变换和 Randers 型变换。主要贡献在于给出了原始与变换后 Cartan 连接之间差张量的闭式表达式，推广了 Matsumoto、Shibata 和 Hashiguchi 的结果。

ABSTRACT

On a Finsler manifold $(M,L)$, we consider the change $L\longrightarrow\bar{L}(x,y)=e^{σ(x)}L(x,y)+β(x,y)$, which we call a $β$-conformal change. This change generalizes various types of changes in Finsler geometry: conformal, $C$-conformal, $h$-conformal, Randers and generalized Randers changes. Under this change, we obtain an explicit expression relating the Cartan connection associated to $(M,L)$ and the transformed Cartan connection associated to $(M,\bar{L})$. We also express some of the fundamental geometric objects (canonical spray, nonlinear connection, torsion tensors, ...etc.) of $(M,\bar{L})$ in terms of the corresponding objects of $(M,L)$. We characterize the $β$-homothetic change and give necessary and sufficient conditions for the vanishing of the difference tensor in certain cases. It is to be noted that many known results of Shibata, Matsumoto, Hashiguchi and others are retrieved as special cases from this work.

研究动机与目标

• 提出 $\overline{L} = e^{\sigma(x)}L + \beta(x,y)$ 的 $\beta$-共形变换，建立统一框架以分析 Finsler 几何中的几何变化。
• 在该变换下，推导原始 Cartan 连接系数的显式表达式。
• 建立原始与变换后 Finsler 结构之间基本几何对象（规范喷射、非线性联络、 torsion 张量）的关系。
• 刻画 $\beta$-同位变换，并确定原始与变换后 Cartan 连接之间差张量消失的条件。
• 将 Matsumoto、Shibata、Hashiguchi 等人的已知结果作为该统一变换的特例重新获得并推广。

提出的方法

• 引入 $\beta$-共形变换 $\overline{L} = e^{\sigma(x)}L + \beta(x,y)$，其中 $\sigma$ 为标量函数，$\beta = b_i y^i$ 为 1-形式，该变换推广了共形、$\beta$-变换和 Randers 变换。
• 推导归一化支撑元素 $\overline{L}_i = e^{\sigma}L_i + b_i$ 和角度量张量 $\overline{h}_{ij} = e^{\sigma}h_{ij}$ 的变换规律。
• 通过中间张量 $D_{0j}^i$、$E_{ij}$ 和 $F_{ij}$（由 $\sigma$ 和 $b_i$ 定义）计算差张量 $D_{jk}^i$。
• 建立 Cartan 连接系数的基本变换公式：$\overline{\Gamma}_{jk}^i = \Gamma_{jk}^i + D_{jk}^i$，其中 $D_{jk}^i$ 以 $\sigma$、$b_i$ 及其导数显式表示。
• 利用水平协变导数 $X_{j}^{i}|_k = \delta_k X_j^i + X_j^r \Gamma_{rk}^i - X_r^i \Gamma_{jk}^r$ 表达曲率与 torsion 的变换。
• 应用 $\mathfrak{U}_{j,k}(Q_{jk}) = Q_{jk} - Q_{kj}$ 运算，推导 Riemann 曲率张量的反对称化曲率关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义 $\beta$-共形变换 $\overline{L} = e^{\sigma(x)}L + \beta(x,y)$ 下，Cartan 连接如何变换？
• RQ2 规范喷射、非线性联络和 torsion 张量的变换表达式如何用原始几何对象表示？
• RQ3 原始与变换后 Cartan 连接之间差张量 $D_{jk}^i$ 消失的条件是什么？
• RQ4 $\beta$-共形变换何时为 $\beta$-同位变换？这与 $b_i$ 的平行性及 $D_{jk}^i$ 消失的关系如何？
• RQ5 已知结果（如共形、$\beta$-变换和 Randers 变换）如何作为该统一框架的特例出现？

主要发现

• 变换后的 Cartan 连接系数满足 $\overline{\Gamma}_{jk}^i = \Gamma_{jk}^i + D_{jk}^i$，其中 $D_{jk}^i$ 通过公式 (3.23)、(3.30) 和 (3.18) 显式表示为 $\sigma$、$b_i$ 及其导数的函数。
• 差张量 $D_{jk}^i$ 恒为零当且仅当 $\sigma$ 为同位变换（即 $\sigma_i = 0$）且 $b_i$ 为 Cartan-平行，如定理 B 所示。
• 在共形情形（$\beta = 0$）下，$D_{jk}^i = 0$ 当且仅当 $\sigma$ 为同位变换，恢复了文献中已知结果。
• 在 $\beta$-变换情形（$\sigma = 0$）下，$D_{jk}^i = 0$ 当且仅当 $b_i$ 为 Cartan-平行，该结果推广了 Matsumoto 的结论。
• torsion 张量的变换关系为：$\overline{C}_{jk}^i = C_{jk}^i + A_{jk}^i$，$\overline{P}_{jk}^i = P_{jk}^i - D_{jk}^i + B_{jk}^i$，$\overline{R}_{jk}^i = R_{jk}^i + \mathfrak{U}_{j,k}(D_{0j|k}^i - (B_{jr}^i + P_{jr}^i)D_{0k}^r)$，其中 $A_{jk}^i$、$B_{jk}^i$ 和 $D_{jk}^i$ 在文中定义。
• （v）hv- torsion 张量的变换关系为：$\overline{P}_{hjk} = \tau P_{hjk} - \frac{\tau L}{2}[L_{hjkr}D_{00}^r + L_{hjr}D_{0k}^r + L_{hkr}D_{0j}^r + L_{jkr}D_{0h}^r - \sigma_0 L_{hjk}]$，其中 $\tau = e^{\sigma}$。