[论文解读] Cascade Connections of Linear Systems and Factorizations of Holomorphic Operator Functions Around a Multiple Zero in Several Variables

Dmitriy S. Kalyuzhniy|ArXiv.org|Feb 4, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文在多复变函数的全纯算子值函数在原点具有多重零点的条件下，建立了其在多圆柱上的阿格勒–舒尔类中分解的判据。该研究将分解问题的可解性与保守多参数线性系统的级联分解结构联系起来，证明了此类分解存在的充要条件是系统主算子的约化不变子空间满足特定的谱性质与对偶条件。

ABSTRACT

We show that the factorization problem $θ(z)=θ_2(z)θ_1(z)$ is solvable in the class of Hilbert space operator-valued functions holomorphic on some neighbourhood of $z=0$ in $ space{C}{N}$ and having a zero at $z=0$ (here $θ(z)$ has a multiple zero at $z=0$). Such a factorization problem becomes more complicated if we demand for $θ(z), θ_1(z)$ and $θ_2(z)$ to be Agler--Schur-class functions on the polydisk $ space{D}{N}$ and for the factorization identity to hold in $ space{D}{N}$. In this case we reduce it to the problem on the existence of a cascade decomposition for certain multiparametric linear system $α$--a conservative realization of $θ(z)$, and give the criterion for its solvability in terms of common invariant subspaces for the $N$-tuple of main operators of $α$.

研究动机与目标

• 研究在 $\mathbb{C}^N$ 中全纯且在原点具有多重零点的算子值函数 $\theta(z)$ 的分解问题 $\theta(z) = \theta_2(z)\theta_1(z)$ 的可解性。
• 将该分解问题推广至多圆柱 $\mathbb{D}^N$ 上的阿格勒–舒尔类，要求分解在整个定义域内全局成立。
• 将分解问题转化为保守多参数线性系统中级联分解的存在性问题。
• 通过系统主算子 $N$-元组的公共不变子空间来刻画分解的可解性。
• 基于系统酉联结算子的谱性质与对偶性质，建立此类分解的必要且充分条件。

提出的方法

• 本文利用保守多参数线性系统 $\alpha = (N; \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}; \mathcal{X}, \mathcal{U}, \mathcal{Y})$ 将全纯算子函数实现为传递函数 $\theta_\alpha(z) = z\mathbf{D} + z\mathbf{C}(I - z\mathbf{A})^{-1}z\mathbf{B}$。
• 应用阿格勒–舒尔类 $S_N^0(\mathcal{U}, \mathcal{Y})$，其包含在 $\mathbb{D}^N$ 上全纯、在 $z=0$ 处取零值，且对所有交换压缩算子 $\mathbf{T}$ 和所有 $r < 1$ 满足 $\|\theta(r\mathbf{T})\| \leq 1$ 的函数。
• 关键方法是将分解问题转化为保守系统 $\alpha$ 的级联分解问题，即将其分解为两个子系统 $\alpha^{(1)}$ 与 $\alpha^{(2)}$，使得 $\theta = \theta_{\alpha^{(2)}} \theta_{\alpha^{(1)}}$。
• 引入了紧密关联的保守实现 $\alpha_{cc}$ 的概念，其中状态空间 $\mathcal{X}_{cc}$ 是系统算子作用于输入与输出空间所生成的所有向量的闭线性张成。
• 核心技术工具是识别一个约化不变子空间 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)} \subset \mathcal{X}_{cc}$，使得 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ 关于所有 $A_k^{(cc)}$ 不变，并满足涉及联结算子 $\zeta\mathbf{G}_{\alpha_{cc}}$ 的伴随算子的对偶条件。
• 本文证明了此类子空间存在的充要条件是分解在阿格勒–舒尔类中成立，其依据为单位圆周 $\mathbb{T}^N$ 上酉联结算子的谱性质与结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^N$ 中，全纯算子值函数 $\theta(z)$ 在 $z=0$ 处具有多重零点时，其在 $\mathbb{D}^N$ 上的阿格勒–舒尔类中可分解为 $\theta(z) = \theta_2(z)\theta_1(z)$ 的条件是什么？
• RQ2 该分解问题与保守多参数线性系统结构之间有何关联？
• RQ3 此类分解存在的谱性质与不变子空间条件是什么？
• RQ4 该分解能否通过系统状态空间的级联分解实现？
• RQ5 紧密关联的保守实现在此类分解存在性中起到何种作用？

主要发现

• 在 $\mathbb{D}^N$ 上的阿格勒–舒尔类中，分解 $\theta(z) = \theta_2(z)\theta_1(z)$ 可解当且仅当存在 $\theta(z)$ 的保守实现 $\alpha_{cc}$，使得其主算子 $N$-元组 $\mathbf{A}_{cc}$ 在 $\mathcal{X}_{cc}$ 中存在一个约化不变子空间 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)} \subset \mathcal{X}_{cc}$。
• 子空间 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ 必须关于所有 $A_k^{(cc)}$ 不变，并满足对偶条件 $\mathcal{V}_{cc} = (\zeta\mathbf{G}_{\alpha_{cc}})^*\mathcal{Y} \ominus \mathcal{X}_{cc}^{(2)}$，其中 $\mathcal{V}_{cc}$ 是 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ 在伴随联结算子下像的正交补。
• 此类子空间 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ 的存在性是分解在阿格勒–舒尔类中成立的必要且充分条件。
• 本文表明，即使 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)} = \{0\}$，分解仍可为非平凡，因为左因子可能为非零的一次齐次函数。
• 该判据对 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ 的不同构造方式（如 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)} = \mathcal{X}_{cc} \cap \mathcal{X}^{(2)}$）保持不变，且在相同的谱与对偶条件下子空间仍有效。
• 该结果通过将算子理论中的分解与保守线性系统的不变子空间结构相联系，将经典分解理论推广至多变量情形。