[论文解读] Categorical actions on unipotent representations I. Finite unitary groups
本文在非定义特征下构造了有限酉群的单连通表示范畴上的卡茨-莫ody代数的范畴化作用，表明其去范畴化表示同构于若干个秩为2的福克空间的直和。证明了哈里什-钱德拉分支图与这些福克空间的晶体图一致，证实了格伯-希斯-贾孔的猜想，并建立了块之间的导出等价性，支持了布劳厄在线性素数下的阿贝尔缺陷群猜想。
Using Harish-Chandra induction and restriction, we construct a categorical action of a Kac-Moody algebra on the category of unipotent representations of finite unitary groups in non-defining characteristic. We show that the decategorified representation is naturally isomorphic to a direct sum of level 2 Fock spaces. From our construction we deduce that the Harish-Chandra branching graph coincide with the crystal graph of these Fock spaces, solving a recent conjecture of Gerber-Hiss-Jacon. We also obtain derived equivalences between blocks, yielding Broué's abelian defect groups conjecture for unipotent $\ell$-blocks at linear primes $\ell$.
研究动机与目标
- 在非定义特征下，构造有限酉群的单连通表示范畴上的卡茨-莫迪代数的范畴化作用。
- 证明该范畴化表示的去范畴化结果同构于若干个秩为2的福克空间的直和。
- 证明有限酉群的单连通表示的哈里什-钱德拉分支图与这些福克空间的晶体图一致，解决了格伯-希斯-贾孔的猜想。
- 建立有限酉群的单连通ℓ-块之间的导出等价性，支持布劳厄在线性素数下的阿贝尔缺陷群猜想。
提出的方法
- 利用哈里什-钱德拉诱导和限制函子，作者在单连通表示范畴上定义了一对伴随函子 (E, F)。
- 他们在特征为零的域上的单连通表示范畴 𝒰K 上构造了卡茨-莫迪代数 𝔤∞ 的范畴表示。
- 他们在正特征 ℓ ∤ q 的范畴 𝒰k 上定义了 𝔤e 的范畴化作用。
- 作者使用弱哈里什-钱德拉理论来参数化表示，并定义了将福克空间上的海森堡代数作用范畴化的函子。
- 他们通过晶体图和分支规则，建立了不可约表示与福克空间中基向量之间的对应关系。
- 他们证明了海森堡代数在格罗滕迪克群上的作用与卡茨-莫迪代数作用可交换，并提出了关于海森堡算子范畴化的猜想。
实验结果
研究问题
- RQ1有限酉群的单连通表示的哈里什-钱德拉分支图是否与秩为2的福克空间的晶体图一致？
- RQ2能否在非定义特征下，对有限酉群的单连通表示范畴构造卡茨-莫迪代数的范畴化作用？
- RQ3有限酉群的单连通ℓ-块的导出范畴是否满足布劳厄阿贝尔缺陷群猜想所预测的导出等价性？
- RQ4是否存在格罗滕迪克群上对海森堡代数作用的范畴化，使其与卡茨-莫迪代数作用可交换？
- RQ5𝒰k 中的 cuspidal 单连通表示是否恰好是格罗滕迪克群中在海森堡作用下的最高权向量？
主要发现
- 该范畴化作用在单连通表示上的去范畴化表示自然同构于若干个秩为2的福克空间的直和。
- 有限酉群的单连通表示的哈里什-钱德拉分支图同构于相应福克空间的晶体图，证实了格伯-希斯-贾孔的近期猜想。
- 作者建立了在素数 ℓ 为线性素数时，有限酉群的单连通ℓ-块之间的导出等价性，支持了布劳厄的阿贝尔缺陷群猜想。
- 正特征下单连通表示范畴的格罗滕迪克群上，海森堡代数与卡茨-莫迪代数的作用可交换，从而范畴化了福克空间表示。
- 不可约 cuspidal 表示的集合恰好对应于在海森堡作用下格罗滕迪克群中的最高权向量，与猜想一致。
- 格罗滕迪克群上对海森堡代数作用的范畴化通过函子 Aν 和 A*ν 实现，这些函子被证明对应于福克空间表示中的算子 aν 和 a*ν。
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