[论文解读] Supports of simple modules in cyclotomic Cherednik categories O

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 24

一句话总结

本文通过组合晶体结构计算了群 $G(\ell,1,n)$ 的分圆有理 Cherednik 范疊 $\mathcal{O}$ 中单模的支集。它引入了一种新的 $\mathfrak{sl}_\infty$-晶体作用于 $\ell$-多分拆，编码了 $q(\lambda)$ 不变量，并证明了单模 $L_c(\lambda)$ 的支集为 $W\Gamma_{p,q}$，其中 $p(\lambda)$ 和 $q(\lambda)$ 分别由 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ 和 $\mathfrak{sl}_\infty$ 晶体中的深度决定。

ABSTRACT

The goal of this paper is to compute the supports of simple modules in the categories $\mathcal{O}$ for the rational Cherednik algebras associated to groups $G(\ell,1,n)$. For this we compute some combinatorial maps on the set of simples: wall-crossing bijections and a certain $\mathfrak{sl}_\infty$-crystal associated to a Heisenberg algebra action on a Fock space.

研究动机与目标

• 计算群 $G(\ell,1,n)$ 的分圆 Cherednik 范疊 $\mathcal{O}$ 中单模的支集。
• 通过新的 $\mathfrak{sl}_\infty$-晶体结构，为支集 $W\Gamma_{p,q}$ 中的第二个参数 $q(\lambda)$ 提供一个组合公式。
• 建立 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ 和 $\mathfrak{sl}_\infty$ 晶体在 $\ell$-多分拆集合上的交换性。
• 将支集计算与通过 Koszul 对偶和 Gaitsgory 中心函子实现的几何范畴化联系起来。

提出的方法

• 在 $\ell$-多分拆集合 $\mathcal{P}_\ell$ 上引入一个级别为 1 的 $\mathfrak{sl}_\infty$-晶体，其中创建算子向分拆添加 $e$ 个方块。
• 使用墙交叉双射将晶体结构从渐近区域转移到参数空间中的所有其他区域。
• 利用 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ 和 $\mathfrak{sl}_\infty$ 晶体的交换作用，将 $q(\lambda)$ 的计算归约为 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$-晶体的奇异元素。
• 应用 Fock 空间表示理论和水平-秩对偶性，将 $\mathfrak{sl}_\infty$-晶体与 Heisenberg 代数作用联系起来。
• 利用仿射范畴 $\mathcal{O}^{\text{aff}}_{{\bf s},{\bf s}^\prime}$ 的几何框架和 Gaitsgory 中心函子，范畴化 Heisenberg 代数作用。
• 通过受 [L4, RSVV] 启发的构造，将仿射范畴的多项式截断与有限型范畴 $\mathcal{O}_c(n)$ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 $\ell$-多分拆 $\lambda$ 和参数 $c$ 组合地计算分圆 Cherednik 范疊 $\mathcal{O}$ 中单模 $L_c(\lambda)$ 的支集？
• RQ2 参数化支集 $W\Gamma_{p,q}$ 的不变量 $q(\lambda)$ 的组合结构是什么？
• RQ3 $\mathcal{P}_\ell$ 上的 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ 和 $\mathfrak{sl}_\infty$ 晶体结构如何相互作用，能否用于计算 $q(\lambda)$？
• RQ4 Fock 空间上的 Heisenberg 代数作用能否通过几何范畴 $\mathcal{O}$ 和 Koszul 对偶性范畴化实现？

主要发现

• 单模 $L_c(\lambda)$ 的支集为 $W\Gamma_{p,q}$，其中 $p(\lambda)$ 和 $q(\lambda)$ 分别由 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ 和 $\mathfrak{sl}_\infty$ 晶体中的深度决定。
• $\mathfrak{sl}_\infty$-晶体被显式构造为 $\mathcal{P}_\ell$ 上的级别 1 晶体，其创建算子向多分拆添加 $e$ 个方块。
• $\mathfrak{sl}_\infty$-晶体与 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$-晶体交换，使得 $q(\lambda)$ 的计算可归约为 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$-晶体的奇异元素。
• 该构造为 $q(\lambda)$ 提供了组合公式，即 $\lambda$ 在 $\mathfrak{sl}_\infty$-晶体中的深度，推广了 $\ell=1$ 时的已知情况。
• Fock 空间上的 Heisenberg 代数作用通过 Gaitsgory 中心函子在几何仿射范畴 $\mathcal{O}^{\text{aff}}_{{\bf s},{\bf s}^\prime}$ 中实现了范畴化。
• 范畴 $\mathcal{O}^{\text{aff}}_{{\bf s},{\bf s}^\prime}$ 与 $\mathcal{O}^{\text{aff}}_{{\bf s}^\prime,{\bf s}}$ 之间的 Koszul 对偶交换了 $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ 和 $\hat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的作用，同时保持 Heisenberg 代数作用不变。