[论文解读] Categorical formal punctured neighborhood of infinity, I

Alexander I. Efimov|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了无穷远处形式穿孔邻域的DG范畴类比，为任意光滑DG范畴 $\mathcal{B}$ 构造了一个范畴 $Πerf_{ ext{top}}(\widehat{\mathcal{B}}_{\infty})$，当 $\mathcal{B} = \operatorname{Perf}(X)$ 时，该构造恢复了代数几何中的范畴 $\operatorname{Perf}(\widehat{X}_{\infty})$。该构造推广了Calkin代数，且独立于紧化选择，为研究无穷远处邻域提供了一个拟不变的范畴框架。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study the formal punctured neighborhood of infinity, both in the algebro-geometric and in the DG categorical frameworks. For a smooth algebraic variety $X$ over a field of characteristic zero, one can take its smooth compactification $\bar{X}\supset X,$ and then take the DG category of perfect complexes on the formal punctured neighborhood of the infinity locus $\bar{X}-X.$ The result turns out to be independent of $\bar{X}$ (up to a quasi-equivalence) and we denote this DG category by $\operatorname{Perf}(\hat{X}_{\infty}).$ We show that this construction can be done purely DG categorically (hence of course also $A_{\infty}$-categorically). For any smooth DG category $\mathcal{B},$ we construct the DG category $\operatorname{Perf}_{top}(\hat{\mathcal{B}}_{\infty}),$ which we call the category of perfect complexes on the formal punctured neighborhood of infinity of $\mathcal{B}.$ The construction is closely related to the algebraic version of a Calkin algebra: endomorphisms of an infinite-dimensional vector space modulo endomorphisms of finite rank. We prove that the DG categorical construction is compatible with the algebro-geometric one. We study numerous examples. In particular, for the algebra of rational functions on a smooth complete connected curve $C$ we obtain the algebra of adeles $\mathbb{A}_C,$ and for $\mathcal{B}=D^b_{coh}(Y)$ for a proper singular scheme $Y$ we obtain the category $D_{sg}(Y)^{op}$ -- the opposite category of the Orlov's category of singularities. Among other things, we discuss the relation with the papers of Tate \cite{Ta} and Arbarello, de Concini, and Kac \cite{ACK}.

研究动机与目标

• 定义一个纯粹基于DG范畴的无穷远处形式穿孔邻域，独立于代数几何紧化结构。
• 将Calkin代数构造推广至DG范畴，特别是针对无限维自同态空间模去有限秩算子的情形。
• 证明当 $\mathcal{B} = \operatorname{Perf}(X)$ 时，该构造恢复了 $\operatorname{Perf}(\widehat{X}_{\infty})$，即无穷远处形式穿孔邻域上的完美复形范畴。
• 证明该构造在紧化选择下的不变性，从而证明其对光滑代数簇的良定义性。
• 探索与现有框架的联系，包括Fukaya范畴、Tate的工作，以及通过Orlov的范畴 $D_{\text{sg}}(Y)^{\text{op}}$ 描述奇点。

提出的方法

• 将DG范畴 $\operatorname{Perf}_{\text{top}}(\widehat{\mathcal{B}}_{\infty})$ 定义为 $\operatorname{Perf}(\mathcal{B})$ 关于某个合适理想的商，推广了Calkin代数的构造。
• 将 $\widehat{\mathcal{B}}_{\infty}$ 构造为一个非负上同调的DG代数，其中 $H^0(\widehat{\mathcal{B}}_{\infty}) \cong \operatorname{End}_k(B)/B^* \otimes B$ 对于一个结合代数 $B$，模去有限秩自同态。
• 以DG商 $\operatorname{Calk}_k := \operatorname{Mod}_k / \operatorname{Perf}(k)$ 作为基础模型，推广代数意义下的Calkin代数。
• 应用同调代数技巧，包括紧逼近和伪完美模，以确保导出范畴的良好行为。
• 利用等价关系 $D(X) \simeq D(A_X)$，其中 $\mathcal{E}$ 是 $\operatorname{Perf}(X)$ 的生成元，且 $A_X = \operatorname{End}(\mathcal{E})$，将几何构造与范畴构造联系起来。
• 证明 $\widehat{\mathcal{B}}_{\infty}$ 对任意小DG范畴 $\mathcal{B}$（而不仅光滑范畴）都是良定义的，通过有界性与紧逼近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖紧化结构的前提下，纯粹通过DG范畴语言重构代数几何中的无穷远处形式穿孔邻域？
• RQ2 DG范畴构造与Calkin代数之间有何关系，特别是在无限维自同态空间模去有限秩算子的情形下？
• RQ3 当 $\mathcal{B} = \operatorname{Perf}(X)$ 时，所得范畴 $\operatorname{Perf}_{\text{top}}(\widehat{\mathcal{B}}_{\infty})$ 是否独立于光滑紧化的选择？
• RQ4 对于光滑射影曲线 $C$，其adele环 $\mathbb{A}_C$ 的范畴解释是什么，以 $\widehat{\mathcal{B}}_{\infty}$ 表示？
• RQ5 该构造是否能恢复已知不变量，如对一个恰当奇点概形 $Y$，Orlov 的奇点范畴 $D_{\text{sg}}(Y)^{\text{op}}$？

主要发现

• 对于任意特征为零的域上的光滑代数簇 $X$，该构造产生一个范畴 $\operatorname{Perf}(\widehat{X}_{\infty})$，其在光滑紧化 $\overline{X} \supset X$ 的选择下是良定义的，至多在拟等价意义下。
• 当 $\mathcal{B} = \operatorname{Perf}(X)$ 时，DG范畴构造精确恢复了 $\operatorname{Perf}(\widehat{X}_{\infty})$，建立了代数几何构造的范畴类比。
• 对于代数 $B = \mathrm{k}[t]$，零阶上同调 $H^0(\widehat{B}_{\infty})$ 同构于 $\mathrm{k}((t^{-1}))$，即 $t^{-1}$ 的洛朗级数域，确认了该构造与已知例子的一致性。
• 对于光滑完备曲线 $C$ 上的有理函数代数，该构造产生adele环 $\mathbb{A}_C$，表明其与整体域的相关性。
• 对于 $\mathcal{B} = D^b_{\text{coh}}(Y)$，其中 $Y$ 是一个恰当奇点概形，该构造产生Orlov奇点范畴的对偶范畴，$D_{\text{sg}}(Y)^{\text{op}}$，从而将其与奇点理论联系起来。
• 该构造推广了Calkin代数：$H^0(\widehat{B}_{\infty}) \cong \operatorname{End}_k(B)/B^* \otimes B$，其中 $B^* \otimes B$ 对应有限秩自同态，且映射 $b \mapsto \overline{L_b}$ 给出了 $B$ 到商的自然包含。