[论文解读] Rank one isometries of buildings and quasi-morphisms of Kac-Moody groups

Pierre‐Emmanuel Caprace, Koji Fujiwara|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用 6

一句话总结

该论文证明了在整环上，不可约的非球对称非仿射 Kac–Moody 群体具有无限维的非平凡拟同态空间，其方法基于建筑物的秩一等距变换及 CAT(0) 空间的刚性性质。关键结果是此类群具有无限的换位子宽度，从而解决了 Bardakov 关于稳定换位子长度的疑问。

ABSTRACT

Given an irreducible non-spherical non-affine (possibly non-proper) building $X$, we give sufficient conditions for a group $G < \Aut(X)$ to admit an infinite-dimensional space of non-trivial quasi-morphisms. The result applies to all irreducible (non-spherical and non-affine) Kac-Moody groups over integral domains. In particular, we obtain finitely presented simple groups of infinite commutator width, thereby answering a question of Valerii G. Bardakov from the Kourovka notebook. Independently of these considerations, we also include a discussion of rank one isometries of proper CAT(0) spaces from a rigidity viewpoint. In an appendix, we show that any homogeneous quasi-morphism of a locally compact group with integer values is continuous.

研究动机与目标

• 确定群在建筑物上作用时，其非平凡拟同态空间成为无限维的条件。
• 解决关于 Kac–Moody 群的稳定换位子长度与换位子宽度的长期疑问。
• 建立在局部紧群上取整数值的齐次拟同态的刚性结果。
• 将有界上同调与拟同态理论的理解拓展至非局部紧及非双曲的情形。

提出的方法

• 利用几何与群论刚性性质分析恰当 CAT(0) 空间中的秩一等距变换。
• 应用 Weyl-传递性与对坦的余紧稳定子条件，推导出无限维的拟同态空间。
• 利用不可约非球对称非仿射建筑物及其自同构群的结构。
• 通过 Bavard 定理，应用有界上同调与稳定换位子长度之间的联系。
• 对取整数值的局部紧群上的拟同态使用齐次性与连续性论证。
• 证明从局部紧群到 ℤ 的任意齐次拟同态均为连续的，其证明基于紧群与李群的结构理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种群作用下，建筑物上的非平凡拟同态空间会成为无限维？
• RQ2 能否证明在整环上的 Kac–Moody 群具有无限换位子宽度？
• RQ3 在局部紧群上，取整数值的齐次拟同态具有何种刚性性质？
• RQ4 CAT(0) 空间中的秩一等距变换如何限制非平凡拟同态的存在性？
• RQ5 Weyl-传递性或对坦的余紧稳定子作用在多大程度上能推出无限维的拟同态空间？

主要发现

• 对于任意群 $ G < \mathrm{Aut}(X) $，若其作用于不可约非球对称非仿射建筑物 $ X $，且作用为 Weyl-传递，或存在某个对坦的稳定子作用余紧，则 $ \widetilde{\mathrm{QH}}(G) $ 为无限维。
• 所有在整环上的不可约非球对称非仿射 Kac–Moody 群均具有无限维的非平凡拟同态空间。
• 此类 Kac–Moody 群具有严格正的稳定换位子长度元素，从而意味着其换位子宽度为无限。
• 当 $ X $ 局部紧时，$ \mathrm{Aut}(X) $ 上的连续非平凡拟同态空间为无限维。
• 从局部紧群到 $ \mathbb{Z} $ 的任意齐次拟同态均为连续的，此结果通过紧群与李群的结构理论得以证明。
• 任何取值于 $ \mathbb{Z} $ 的齐次拟同态，其限制到一个投影群或连通局部紧群时均为平凡的，从而蕴含连续性。