[论文解读] Categorical Saito theory, I: A comparison result

Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文建立了孤立超曲面奇点的Saito几何半无穷Hodge结构（VSHS）与通过Kontsevich的形变量子化及Tsygan形式性映射构造的$A_\infty$-范畴矩阵因子化$\mathsf{MF}(W)$的范畴VSHS之间的比较同构。关键结果是两个VSHS结构同构，意味着范畴与几何原始形式之间存在自然双射，且对应的Frobenius流形同构。

ABSTRACT

In this paper, we present an explicit cyclic minimal $A_\infty$ model for the category of matrix factorizations $\MF(W)$ of an isolated hypersurface singularity. The key observation is to use Kontsevich's deformation quantization technique. Pushing this idea further, we use the Tsygan formality map to obtain a comparison theorem that the categorical Variation of Semi-infinite Hodge Structure of $\MF(W)$ is isomorphic to Saito's original geometric construction in primitive form theory. An immediate corollary of this comparison result is that the analogue of Caldararu's conjecture holds for the category $\MF(W)$.

研究动机与目标

• 建立孤立超曲面奇点的Saito原始形式理论的范畴类比。
• 通过形变量子化，从$A_\infty$-范畴矩阵因子化$\mathsf{MF}(W)$构造非交换VSHS。
• 通过Tsygan形式性映射，证明该范畴VSHS与Saito原始几何VSHS同构。
• 确认$\mathsf{MF}(W)$的范畴原始形式与Saito的几何原始形式之间存在双射关系。
• 证明由两种构造得到的Frobenius流形同构。

提出的方法

• 使用Kontsevich的形变量子化，为$\mathsf{MF}(W)$构造一个循环极小$A_\infty$模型，将其识别为雅可比环的Koszul对偶代数。
• 应用Tsygan形式性映射，将$A_\infty$代数的Hochschild链复形与极小普遍形变$\mathscr{W} = W + \sum t_i \varphi_i$的扭曲de Rham复形联系起来。
• 将范畴VSHS定义为$\mathscr{V}^{\mathsf{MF}(W)} = (HC^{-}_*(A^{\mathscr{W}}), \nabla, \langle -, - \rangle_{\mathsf{hres}})$，其中连接来自Getzler及非交换几何。
• 利用Gerstenhaber括号与算子$T$（外度数）计算$u$-连接，并通过Tsygan形式性映射将其与几何$u$-连接关联。
• 通过证明$\mathcal{U}^{\mathsf{Sh},\mathscr{W}}_0 \circ 2u\nabla^{\mathsf{NC}}_{\partial_u} = (2u\partial_u + P + \frac{2\iota_\mathscr{W}}{u}) \circ \mathcal{U_0}^{\mathsf{Sh},\mathscr{W}}$，表明范畴侧的$u$-连接与几何侧匹配，其中$P \equiv N \cdot \mathsf{id}$在上同调上成立。
• 利用上同调集中在最高维数$N$的性质，$P$在上同调上作用为乘以$N$的标量算子，与几何归一化项$-\frac{N \cdot \mathsf{id}}{2u}$一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个孤立奇点矩阵因子化的范畴构造，使得其半无穷Hodge结构（VSHS）与Saito的几何VSHS匹配？
• RQ2 Tsygan形式性映射是否可用于将$\mathsf{MF}(W)$的非交换VSHS与$W$的几何VSHS关联起来？
• RQ3 $\mathsf{MF}(W)$的范畴原始形式是否与Saito的几何原始形式之间存在双射关系？
• RQ4 由范畴与几何VSHS构造的Frobenius流形是否同构？
• RQ5 该范畴构造是否满足与Saito原始VSHS相同的相容性条件？

主要发现

• 通过Tsygan形式性映射，范畴VSHS$\mathscr{V}^{\mathsf{MF}(W)}$与Saito的几何VSHS$\mathscr{V}^{\mathsf{Saito}}$同构。
• 该同构通过一个$u$-线性映射$\mathcal{U}^{\mathsf{Sh},\mathscr{W}}_0$实现，该映射在两侧的$u$-连接之间实现交织。
• 在上同调约化后，范畴侧的$u$-连接与几何侧匹配，原因在于上同调集中在最高维数。
• Hochschild链上的算子$P$在上同调上作用为$N \cdot \mathsf{id}$，与几何归一化项$-\frac{N \cdot \mathsf{id}}{2u}$一致。
• 范畴侧的$t$-方向连接与Getzler的连接匹配，且整个$\nabla$结构在形式性映射下保持不变。
• 作为推论，Cãldăraru猜想在$\mathsf{MF}(W)$情形下成立，确认了范畴设定下存在一个典范原始形式。