[论文解读] Categorical Saito theory, II: Landau-Ginzburg orbifolds

Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文通过 $G$-等变矩阵因子化和半无限霍奇结构的变分（VSHS），构建了 Saito 原始形式理论的 $G$-等变版本，证明了对于具有有限对角特殊线性对称性的可逆多项式，存在一个典范的范畴原始形式。通过比较平坦截面与幂级数展开，验证了五次族的 LG/LG 镜像对称性，即 $B$-模型轨道 $(W, (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4)$ 的亏格零前势函数与镜像 $A$-模型 $(W, \mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ 的 FJRW 前势函数一致。

ABSTRACT

Let $W\in \mathbb{C}[x_1,\cdots,x_N]$ be an invertible polynomial with an isolated singularity at origin, and let $G\subset {\sf SL}_N\cap (\mathbb{C}^*)^N$ be a finite diagonal and special linear symmetry group of $W$. In this paper, we use the category ${\sf MF}_G(W)$ of $G$-equivariant matrix factorizations and its associated VSHS to construct a $G$-equivariant version of Saito's theory of primitive forms. We prove there exists a canonical categorical primitive form of ${\sf MF}_G(W)$ characterized by $G_W^{\sf max}$-equivariance. Conjecturally, this $G$-equivariant Saito theory is equivalent to the genus zero part of the FJRW theory under LG/LG mirror symmetry. In the marginal deformation direction, we verify this for the FJRW theory of $\big(\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5),\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\big)$ with its mirror dual B-model Landau-Ginzburg orbifold $\big(\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5), (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4\big)$. In the case of the Quintic family $\mathcal{W}=\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5)-ψx_1x_2x_3x_4x_5$, we also prove a comparison result of B-model VSHS's conjectured by Ganatra-Perutz-Sheridan.

研究动机与目标

• 为具有可逆奇点的 Landau-Ginzburg 轨道发展 Saito 原始形式的 $G$-等变扩展。
• 通过 $G$-等变矩阵因子化及其关联的 VSHS 建立范畴框架。
• 证明非交换霍奇滤子的 $G_{W}^{{\rm max}}$-等变分裂的唯一存在性。
• 验证 $B$-模型 $G$-等变 Saito 理论与五次族的亏格零 FJRW 理论之间的镜像对称性。
• 将 $B$-模型的范畴 VSHS 与 Griffiths 的几何 VSHS 进行比较，支持 Ganatra-Perutz-Sheridan 的一个猜想。

提出的方法

• 利用霍奇到德拉姆退化，从 $G$-等变矩阵因子化范畴 ${\sf MF}_{G}(W)$ 构造一个极化 VSHS。
• 通过文献 [1] 的结果，将非交换霍基滤子的分裂与范畴原始形式之间建立双射。
• 通过非交换霍奇希尔德同调与循环同调的计算，证明 $G_{W}^{{\rm max}}$-等变分裂的唯一存在性。
• 利用同构 $HC^{-}_{\rm odd}({\sf MF}_{G}(W)) \cong H^{*}(\Omega_{\mathbb{C}^5}^{*}[[u]], dW + u d_{DR})^{G}$，在德拉姆上同调中建模 VSHS。
• 利用同构 $e^{(x_1\cdots x_5)\psi / u}$ 计算沿边际形变方向 $\psi$ 的基形式的平坦延拓，将 Gauss-Manin 连接与平凡连接关联。
• 通过基形式 $s_0$ 的平坦延拓的正部导出原始形式 $\zeta$，得到 $\zeta = \frac{1}{\omega_0} dx_1\cdots dx_5$，其中 $\omega_0$ 是 $\psi$ 的幂级数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可逆多项式 $W$ 的 $G$-等变矩阵因子化范畴 ${\sf MF}_{G}(W)$，是否存在一个典范的 $G$-等变原始形式？
• RQ2 本文构建的 $G$-等变 Saito 理论是否在 LG/LG 对偶下与亏格零 FJRW 理论互为镜像对偶？
• RQ3 能否将 $B$-模型 $({\sf MF}_{G}(W))$ 的范畴 VSHS 与镜像五次族的 Griffiths 几何 VSHS 进行比较？
• RQ4 $B$-模型 $G$-等变 Saito 理论的前势函数是否在边际形变方向上与 FJRW 前势函数一致？
• RQ5 对于 $G = (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4$ 作用在 $W = \frac{1}{5}(x_1^5 + \cdots + x_5^5)$ 上的情形，非交换霍基滤子的典范分裂是否可通过 $\psi$ 的幂级数计算？

主要发现

• 对于 ${\sf MF}_{G}(W)$，存在一个 $G_{W}^{{\rm max}}$-等变的非交换霍基滤子的典范分裂，从而产生唯一的范畴原始形式。
• 原始形式 $\zeta$ 明确计算为 $\zeta = \frac{1}{\omega_0} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 dx_5$，其中 $\omega_0 = \sum_{k \geq 0} \frac{[(5k-4)(5k-9)\cdots(1)]^5}{(5k)!} \psi^{5k}$。
• 基形式 $s_0$ 的平坦延拓满足 $s_0^{\sf flat} = \frac{1}{\omega_0} dx_1\cdots dx_5 + u^{-1} \frac{\omega_1}{\omega_0} s_1^{\sf flat} - u^{-2} \frac{\omega_2}{\omega_0} s_2^{\sf flat} + u^{-3} \frac{\omega_3}{\omega_0} s_3^{\sf flat}$，其中 $\omega_i$ 为 $\psi$ 的幂级数。
• $B$-模型 $({\sf MF}_{(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4}(W))$ 的 VSHS 同构于镜像五次族的几何 VSHS，从而在本例中证实了 Ganatra-Perutz-Sheridan 的一个猜想。
• 将 $B$-模型 $({\sf MF}_{(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4}(W))$ 的亏格零前势函数限制在边际方向 $\tau = \frac{\omega_1}{\omega_0}$ 上，与镜像 $A$-模型 $(W, \mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ 的 FJRW 前势函数一致，从而验证了 LG/LG 镜像对称性。