[论文解读] Categorical structures enriched in a quantaloid: tensored and cotensored categories

Isar Stubbe|ArXiv.org|Nov 16, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 91

一句话总结

本文证明，关于量值类 𝒬 的完备范畴恰好是那些具有张量积、余张量积且有序完备的范畴，统一了范畴论与序理论结构。它表明右 𝒬-模恰好对应于完备的 𝒬-范畴，通过具有稳定合极和一致相干条件的量值类富集框架，推广了富集范畴理论中的经典结果。

ABSTRACT

Our subject is that of categories, functors and distributors enriched in a base quantaloid Q. We show how cocomplete Q-categories are precisely those which are tensored and conically cocomplete, or alternatively, those which are tensored, cotensored and order-cocomplete. Bearing this in mind, we analyze how Sup-valued homomorphisms on Q are related to Q-categories. With an appendix on action, representation and variation.

研究动机与目标

• 在量值类富集范畴的背景下，对完备范畴进行表征。
• 阐明张量积、余张量积与富集范畴中序理论上确界之间的关系。
• 在 𝒬^op 到 Cat(2) 的闭伪函子范畴之间，建立张量积范畴与之的双等价关系。
• 证明右 𝒬-模与完备 𝒬-范畴等价，推广了经典模理论中的对应关系。
• 在量值类的背景下，统一作用、表示与上确界预层理论。

提出的方法

• 以加权合极作为 𝒬-范畴中的基础构造，张量积与余张量积为其特例。
• 通过所有加权合极的存在性来定义完备性，证明其与张量积及锥合极完备性等价。
• 引入有序完备性作为较弱的条件，当具备余张量积时，其与锥合极完备性等价。
• 应用富集伴随理论，将（余）张量积性与张量积范畴中的序伴随关系联系起来。
• 通过富集伴随性，建立张量积 𝒬-范畴与从 𝒬^op 到 Cat(2) 的闭伪函子之间的双等价关系。
• 将右 𝒬-模表征为从 𝒬^op 到 Sup 的保上确界的同态，证明其与完备 𝒬-范畴等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下一个 𝒬-范畴是完备的，这与张量积和余张量积有何关联？
• RQ2 序理论上确界（有序完备性）如何与 𝒬-范畴中的富集范畴合极相互作用？
• RQ3 右 𝒬-模与完备 𝒬-范畴之间的精确对应关系是什么？
• RQ4 在量值类设定下，如何通过富集伴随性表征（余）张量积性？
• RQ5 在量值类富集范畴的背景下，作用、表示与 Sup-预层以何种方式统一？

主要发现

• 一个 𝒬-范畴是完备的，当且仅当它是张量积的、余张量积的且有序完备的。
• 对于一个张量积的 𝒬-范畴，余张量积性等价于某些序伴随关系的存在性。
• 右 𝒬-模恰好与完备 𝒬-范畴相同，建立了根本性的双等价关系。
• 在量值类上，作用、表示与 Sup-预层的理论在范畴上是等价的。
• 𝒬-范畴中的完备性完全由张量积、余张量积与序理论上确界之间的相互作用所刻画。
• 由于 2-态射的交换性，量值类富集范畴中的相干条件得以简化，从而得出了更清晰的结构性结果。