[论文解读] Categories, norms and weights

Marco Grandis|ArXiv.org|Mar 13, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文在范畴 $[0,\infty]$ 上引入了双重幺半闭结构，使用加法和乘法分别建模丰富范畴中的次可加（基于成本）与次可乘（利普希茨）范数。它在加权集合上建立了两个不同的对称幺半闭结构——${\bf w}^+$ 用于加法权重，${\bf w}^\bullet$ 用于乘法权重——为加权代数拓扑奠定了基础，并将物理度量抽象为权重代数。

ABSTRACT

The well-known Lawvere category R of extended real positive numbers comes with a monoidal closed structure where the tensor product is the sum. But R has another such structure, given by multiplication, which is *-autonomous. Normed sets, with a norm in R, inherit thus two symmetric monoidal closed structures, and categories enriched on one of them have a 'subadditive' or 'submultiplicative' norm, respectively. Typically, the first case occurs when the norm expresses a cost, the second with Lipschitz norms. This paper is a preparation for a sequel, devoted to 'weighted algebraic topology', an enrichment of directed algebraic topology. The structure of R, and its extension to the complex projective line, might be a first step in abstracting a notion of algebra of weights, linked with physical measures.

研究动机与目标

• 形式化 $[0,\infty]$ 上的两个对称幺半闭结构：一个使用加法 (${\bf w}^+$)，一个使用乘法 (${\bf w}^\bullet$)，各自在范畴上诱导出不同的范数。
• 澄清丰富范畴理论中次可加范数（建模成本、持续时间、能量）与次可乘范数（建模利普希茨常数）之间的区别。
• 为加权范畴建立一致的术语体系，其中态射携带满足复合下加法或乘法不等式的权重。
• 为后续关于加权代数拓扑的研究奠定基础，其中同伦与同调理论在具有扩展实数权重的空间上发展。
• 探讨 $[0,\infty]$ 的代数结构及其在 $\mathbb{C}P^1$ 上的推广，作为与物理度量（如 RLC 电路中的阻抗）相关的潜在“权重代数”。

提出的方法

• 在 $[0,\infty]$ 上定义对称幺半闭结构 ${\bf w}^+$，张量积为加法，内蕴态射为截断差：${\rm hom}^+(\mu,\nu) = 0 \vee (\nu - \mu)$。
• 在 $[0,\infty]$ 上定义对称幺半闭结构 ${\bf w}^\bullet$，张量积为乘法，内蕴态射为除法：${\rm hom}^\bullet(\mu,\nu) = \nu / \mu$，其中 $0/0 = \infty/\infty = 0$。
• 构造加权集合范畴 ${\rm w}^+{\bf Set}$，其态射满足 $|gf| \leq |f| + |g|$；以及 ${\rm w}^\bullet{\bf Set}$，其态射满足 $|gf| \leq |f| \cdot |g|$。
• 引入加权阿贝尔群与加权环，作为分别在 ${\rm w}^+{\bf Ab}$ 和 ${\rm w}^\bullet{\bf Ab}$ 上丰富的范畴，其同态集上具有相容的范数。
• 证明 ${\bf w}^\bullet$ 是 *-自对偶的，其对合为 $\mu \mapsto 1/\mu$，且支持适合利普希茨型映射的乘法范数结构。
• 将劳弗勒的纤维化方法与利普希茨范数对比，主张直接丰富方法更适用于发展加权同调与同伦理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在扩展实区间 $[0,\infty]$ 上赋予两个不同的对称幺半闭结构——一个加法，一个乘法——以在范畴上实现双重范数结构？
• RQ2 乘法结构 ${\bf w}^\bullet$ 在 $[0,\infty]$ 上的范畴与代数意义为何，特别是其与 *-自对偶性及经典线性逻辑的关系？
• RQ3 态射上的次可加与次可乘范数如何对应于不同的物理或计算解释（如成本与利普希茨常数），并在丰富范畴理论中形式化？
• RQ4 将 $[0,\infty]$ 视为带有对合 $\mu \mapsto 1/\mu$ 的交换半环的结构，如何推广到其他域（如 $\mathbb{C}P^1$），这又如何暗示抽象权重代数的结构？
• RQ5 在 $[0,\infty]$ 上的双重幺半结构如何作为新理论——加权代数拓扑——的基础，特别是在具有加权空间的同伦与同调理论中？

主要发现

• 范畴 $[0,\infty]$ 允许两个不同的对称幺半闭结构：${\bf w}^+$ 使用加法作为张量积，${\bf w}^\bullet$ 使用乘法作为张量积。
• 乘法结构 ${\bf w}^\bullet$ 是 *-自对偶的，其对合为 $\mu \mapsto 1/\mu$，内蕴态射为 $\nu / \mu$，其中 $0/0 = \infty/\infty = 0$。
• 在 ${\rm w}^+{\bf Set}$ 上丰富的范畴携带满足 $|gf| \leq |f| + |g|$ 的次可加范数，用于建模复合中的成本或能量。
• 在 ${\rm w}^\bullet{\bf Set}$ 上丰富的范畴携带满足 $|gf| \leq |f| \cdot |g|$ 的次可乘范数，用于建模利普希茨常数或缩放因子。
• 一个生成元的自由加权阿贝尔群为 $\mathrm{w}{\bf Z}$，其中当 $k \geq 0$ 时 $|k| = k$，否则 $|k| = \infty$，体现了权重的方向性。
• 加权集合范畴 ${\rm w}{\bf Set}$ 同时支持加法权重 $|f|_0 = \sup_x (|f(x)| - |x|)$ 与乘法权重 $|f|_1 = \sup_x (|f(x)| / |x|)$，后者通过 $|f|_1 \leq 1$ 识别压缩映射。