[论文解读] Categorification of integrable representations of quantum groups

Hao Zheng|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 11

一句话总结

本文通过在Quiver流形上的微局部 perverse层，对对称量子Kac-Moody代数的最高权可积表示及其张量积进行了范畴化。它几何地实现了Lusztig的典范基，并通过一个阿贝尔范畴化框架建立了新的正性结果，其中不可约投影对象对应于典范基向量。

ABSTRACT

We categorify the highest weight integrable representations and their tensor products of a symmetric quantum Kac-Moody algebra. As byproducts, we obtain a geometric realization of Lusztig's canonical bases of these representations as well as a new positivity result. The main ingredient in the underlying geometric construction is a class of micro-local perverse sheaves on quiver varieties.

研究动机与目标

• 为对称量子Kac-Moody代数的最高权可积表示提供一个几何范畴化。
• 在阿贝尔范畴中将Lusztig的典范基实现为不可约投影对象的类。
• 通过范畴化框架建立典范基的新正性结果。
• 构建一个Quiver流形上微局部 perverse 层的三角范畴，以编码表示理论。
• 将量子群作用上移到一个范畴上的正合函子，其Grothendieck群恢复到Q(q)上的表示。

提出的方法

• 构造一个与对称量子Kac-Moody代数相关的Quiver流形上微局部 perverse 层的三角范畴D。
• 在D上定义正合自函子E_i^{(n)}, F_i^{(n)}, K_i^±，以范畴化量子群生成元。
• 建立这些函子之间的函子同构，以范畴化量子群U的定义关系。
• 从D中提取一个全子范畴Q_ω，对应于最高权模的张量积。
• 定义一个代数A_ω^•上的模的阿贝尔范畴A_ω^•-mof，并证明其Grothendieck群同构于表示Λ(ω)。
• 利用Verdier对偶和Ext-函子，将D中的单个 perverse 层与A_ω^•-mof中的不可约投影模联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用几何层论方法对对称量子Kac-Moody代数的最高权可积表示进行范畴化？
• RQ2 如何通过量子群表示的范畴化几何地实现Lusztig的典范基？
• RQ3 微局部 perverse 层在Quiver流形上在构建量子群表示范畴化中起什么作用？
• RQ4 能否从这种范畴化框架中推导出典范基的正性结果？
• RQ5 量子群生成元及其关系如何提升为几何定义范畴上的正合函子？

主要发现

• 阿贝尔范畴A_ω^•-mof的Grothendieck群与Q(q)张量后，携带一个与表示Λ(ω)同构的U-模结构。
• A_ω^•-mof中的不可约投影对象精确对应于Λ(ω)的典范基向量。
• 该范畴化通过Quiver流形上的微局部 perverse 层实现，推广了先前使用余切丛的构造。
• 获得了一个新的正性结果：在范畴化设定下，典范基的结构常数是非负整数。
• 函子Ext^•_D(L_ω,ν, −)在子范畴Q_ω与范畴A_ω^•-mof之间诱导一个等价，从而诱导出U-模同构。
• 量子群生成元在Grothendieck群上的作用通过与函子E_i^{(n)•}, F_i^{(n)•}, K_i^{±•}的张量实现。