[论文解读] Categorified cyclic operads

Pierre-Louis Curien, Jovana Obradović|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文通过将基于集合的带对称性的循环操作子的公理放松为同构，引入了范畴化循环操作子的概念，借助受Dožn与Petrić关于弱Cat-操作子的共性证明启发的语法项重写技术建立共性。关键贡献是一个共性定理，表明所有标准同构图均交换，其应用包括通过在2-多复形表示上赋予符号分配，构建循环操作子的奇数Feynman范畴。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a notion of categorified cyclic operad for set-based cyclic operads with symmetries. Our categorification is obtained by relaxing defining axioms of cyclic operads to isomorphisms and by formulating coherence conditions for these isomorphisms. The coherence theorem that we prove has the form "all diagrams of canonical isomorphisms commute". Our coherence results come in two flavours, corresponding to the "entries-only" and "exchangeable-output" definitions of cyclic operads. Our proof of coherence in the entries-only style is of syntactic nature and relies on the coherence of categorified non-symmetric operads established by Do\v{s}en and Petri\'c. We obtain the coherence in the exchangeable-output style by "lifting" the equivalence between entries-only and exchangeable-output cyclic operads, set up by the second author. Finally, we show that a generalisation of the structure of profunctors of B\' enabou provides an example of categorified cyclic operad, and we exploit the coherence of categorified cyclic operads in proving that the Feynman category for cyclic operads, due to Kaufmann and Ward, admits an odd version.

研究动机与目标

• 通过将严格等式替换为同构，发展带对称性的循环操作子的共性范畴化。
• 建立共性定理，确保在仅含输入的循环操作子定义中，所有标准同构图均交换。
• 通过第二作者建立的等价性，将共性结果扩展到可交换输出的定义。
• 证明函子构成范畴化循环操作子的模型。
• 将共性框架应用于构造循环操作子的奇数Feynman范畴。

提出的方法

• 通过将集合层次的操作替换为范畴，将公理替换为同构，对仅含输入的循环操作子进行范畴化，包括顺序结合子β和交换子γ。
• 采用受Dožn与Petrić关于弱Cat-操作子共性证明启发的语法项重写方法。
• 分阶段减少共性问题：首先排除对称群作用，然后消除循环性，最后限制为骨架结构。
• 引入三种新共性条件——六边形、十边形和混合条件，超出Mac Lane的五边形和对合要求。
• 使用2-多复形ΣCyc来表示聚合的张量范畴，其中1-生成元用于边收缩和重标记，2-生成元用于共性关系。
• 为ΣCyc中的关系分配符号，以定义阿贝尔范畴化Feynman范畴∥(Cyc, ν)∥odd，从而支持反循环操作子的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将等式替换为同构，系统性地范畴化循环操作子的公理，同时保持共性？
• RQ2 为使范畴化循环操作子的所有标准同构图均交换，所需的最小共性条件是什么？
• RQ3 如何将仅含输入与可交换输出的循环操作子定义之间的等价性提升到范畴化设置？
• RQ4 函子结构是否自然地支持范畴化循环操作子的公理？
• RQ5 能否利用共性框架将循环操作子的Feynman范畴推广为“奇数”版本？

主要发现

• 本文建立了共性定理，表明在范畴化仅含输入的循环操作子中，所有标准同构图均交换。
• 共性证明依赖于三个忠实的约化：排除对称群作用、消除循环性，以及限制为骨架结构，最终归约为弱Cat-操作子中的已知共性。
• 构建了一个新的2-多复形ΣCyc，用于表示聚合的张量范畴，其生成元包括边收缩和重标记，2-生成元用于共性关系。
• 作者证明关系x◦y = y◦x可被赋予符号−，而所有其他关系赋予符号+，从而通过符号分配ν定义了一个奇数Feynman范畴。
• 构造了奇数Feynman范畴∥(Cyc, ν)∥odd，其表示为反循环操作子，且支持bar与cobar构造以及Feynman变换。
• 函子构造提供了一个范畴化循环操作子的具体实例，验证了该框架的普遍性。