[论文解读] Causal transference plans and their Monge-Kantorovich problems

Rémi Lassalle|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用 12

一句话总结

本文引入了因果转送计划——在滤子（filtration-based）约束下尊重因果关系的最优传输耦合——以在最优传输框架内统一随机控制与随机微积分。本文建立了因果 Monge-Kantorovich 问题的原始与对偶公式，证明了随机微分方程（SDE）的唯一强解恰好对应于因果 Monge 问题的解，并将该理论应用于 Girsanov 变换与熵正则化传输。

ABSTRACT

This paper investigates causal optimal transportation problems, in the framework of two Polish spaces, both endowed with filtrations. Specific concretizations yield primal problems equivalent to several classical problems of stochastic control, and of stochastic calculus ; trivial filtrations yield usual problems of optimal transport. Within this framework, primal attainments and dual formulations are obtained, under standard hypothesis, for the related variational problems. These problems are intrinsically related to martingales. Finally, we investigate applications to stochastic frameworks. A straightforward equivalence between specific causal optimization problems, and problems of stochastic control, is obtained. Solutions to a class of stochastic differential equations are characterized, as optimum to specific causal Monge-Kantorovich problems ; the existence of a unique strong solution is related to corresponding Monge problems.

研究动机与目标

• 将经典最优传输扩展至基于波兰空间上滤子的因果框架。
• 在标准拓扑与可测性假设下，为因果 Monge-Kantorovich 传输问题制定原始与对偶问题。
• 建立随机微分方程解与最优因果耦合之间的对应关系。
• 通过因果 Monge 问题的可解性表征随机微分方程唯一强解的存在性。
• 将鞅保持性、因果约束与基于熵的正则化在随机传输中联系起来。

提出的方法

• 引入因果转送计划作为尊重源空间与目标空间上滤子的耦合，确保信息流的时间一致性。
• 将因果计划的集合 $\Pi_c(\eta,\nu)$ 定义为满足 $\mathcal{G}_t(\gamma) \subset \mathcal{B}_t(E)^\eta$ 的耦合，以保证因果性。
• 通过惩罚代价函数与与鞅相关的集合 $\mathcal{H}_{\eta,\nu}$，推导出因果 Monge-Kantorovich 问题的对偶公式。
• 利用推论 1，即使在无紧致性假设下，也证明了下半连续代价函数下的原始问题可达性。
• 利用 Yamada-Watanabe 条件，将因果计划表征为在联合分布下保持鞅性质的计划。
• 通过将 SDE 解的联合分布 $\gamma_\star$ 与希尔伯特空间设定下的最优因果计划关联，将理论应用于 SDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过波兰空间上的滤子将最优传输扩展至因果框架？
• RQ2 在标准假设下，因果 Monge-Kantorovich 问题的对偶公式是什么？
• RQ3 随机微分方程的解与因果最优传输计划之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，SDE 唯一强解的存在性与因果 Monge 问题的解相对应？
• RQ5 Girsanov 变换与熵正则化如何与因果传输计划关联？

主要发现

• 在标准假设下，即使无紧致性，因果 Monge-Kantorovich 问题 $P_{\mu,\nu}$ 也存在原始解。
• 对偶问题通过有界可测函数 $g$ 与特定类 $\mathcal{H}_{\eta,\nu}$ 上的上确界表征，扩展了 Kantorovich 对偶性。
• SDE $dX_t = dB_t + v_t(X)dt$ 解的唯一联合分布 $\gamma_\star$ 是 $P_{\mu,\nu}$ 的唯一最小化器。
• SDE 存在唯一强解当且仅当最优因果计划解决了因果 Monge 问题。
• 当 $\frac{d\nu}{d\mu} \in \mathrm{I\!D}_{2,1}$ 时，最优计划 $\gamma_\star$ 由 $((I_W - \pi^\nu \nabla \ln \frac{d\nu}{d\mu}) \times I_W)_\star \nu$ 给出，其中 $\pi^\nu$ 表示对适应过程的投影。