[论文解读] Cayley graphs on abelian groups

Edward Dobson, Pablo Spiga+1 more|Repository of the University of Primorsk (University of Primorska)|Jun 17, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文证明了几乎所有有限交换群上的Cayley图的自同构群都达到最小可能值，即$A \rtimes \langle \iota \rangle$，其中$ι$将群元素取逆。通过计数和群论技巧，作者表明，产生此类最小自同构群的逆封闭连接集的比例随着群阶$n \to \infty$趋于1，从而证实了Babai与Godsil对交换群上Cayley图自同构群渐近行为的猜想。

ABSTRACT

Let $A$ be an abelian group and let $ι$ be the automorphism of $A$ defined by $i:a\mapsto a^{-1}$. A Cayley graph $Γ=\mathrm{Cay}(A,S)$ is said to have an automorphism group \emph{as small as possible} if $\mathrm{Aut}(Γ)= A times\langle i angle$. In this paper, we show that almost all Cayley graphs on abelian groups have automorphism group as small as possible, proving a conjecture of Babai and Godsil.

研究动机与目标

• 解决Babai与Godsil提出的猜想，即几乎所有交换群上的Cayley有向图都是DRR（有向正则表示）。
• 将该结论推广至Cayley图，证明几乎所有逆封闭连接集均产生尽可能小的自同构群，即$A \rtimes \langle \iota \rangle$。
• 建立此类最小自同构群Cayley图的比例在群阶$n \to \infty$时趋于1。
• 分析无标签Cayley图，证明渐近意义上几乎所有图与具有最小自同构群的图不可区分。

提出的方法

• 枚举所有逆封闭子集$S \subseteq A$，并按$\mathop{\mathrm{Cay}}(A,S)$的自同构群进行分类。
• 利用Schur环和可迁置换群的群论约束，限制产生较大自同构群的“坏”连接集的数量。
• 使用$n$（群阶）的指数和对数项，对具有非最小自同构群的集合大小施加界限。
• 利用$A$在$B = A \rtimes \langle \iota \rangle$中是特征子群的事实，将图的同构关系与$A$的自同构联系起来，从而在无标签情形下实现计数。
• 运用渐近估计，证明“坏”集合与总集合的比例在$n \to \infty$时趋于零，从而证明主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$|A| \to \infty$时，满足$\mathop{\mathrm{Aut}}(\mathop{\mathrm{Cay}}(A,S)) = A \rtimes \langle \iota \rangle$的逆封闭子集$S \subseteq A$的比例是否趋于1？
• RQ2 Babai与Godsil关于几乎所有Cayley有向图是DRR的猜想，能否推广至指数大于2的交换群上的Cayley图？
• RQ3 具有最小自同构群的交换群上无标签Cayley图的数量的渐近行为如何？
• RQ4 产生较大自同构群的连接集集合的大小与所有逆封闭集合总数相比如何？

主要发现

• 当$|A| \to \infty$时，满足$\mathop{\mathrm{Aut}}(\mathop{\mathrm{Cay}}(A,S)) = A \rtimes \langle \iota \rangle$的逆封闭子集$S \subseteq A$的比例趋于1，从而证实了猜想1.4。
• 产生较大自同构群的“坏”连接集数量受$2^{m/2 + 11n/24 + 2(\log_2 n)^2 + 2}$的限制，其中$m$是$A$中阶至多为2的元素数量，该值与所有逆封闭集合总数相比可忽略不计。
• 对于$A$上的无标签Cayley图，其自同构群为$A \rtimes \langle \iota \rangle$的图的比例在$n \to \infty$时趋于1，从而证明了定理6.2。
• 在$A$上DRR的数量满足$|2^A_{\text{DRR}}| \geq 2^n - 2^{3n/4 + 2(\log_2 n)^2 + 1}$，表明几乎所有$A$上的Cayley有向图都是DRR。
• 在$A$上无标签DRR的数量满足$|\mathrm{UDRR}(A)| \geq 2^{n - (\log_2 n)^2} - 2^{3n/4 + (\log_2 n)^2 + 1}$，且非DRR与DRR的比例趋于0，从而证明了定理6.1。