[论文解读] Cell decompositions of character varieties

Anton Mellit|arXiv (Cornell University)|May 25, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 17

一句话总结

本文通过利用与辫子相关的概形上纤维化的特征丛的胞分解方法，建立了黎曼曲面上一般特征簇的奇特Lefschetz性质。关键结果证实了Hausel、Letellier与Rodriguez-Villegas的猜想，表明在权重滤子下，上同调满足精化的Poincaré对偶性，对混合Hodge结构及特征簇的拓扑具有重要意义。

ABSTRACT

We establish curious Lefschetz property for generic character varieties of Riemann surfaces conjectured by Hausel, Letellier and Rodriguez-Villegas. Our main tool applies directly in the case when there is at least one puncture where the local monodromy has distinct eigenvalues. We pass to a vector bundle over the character variety, which is then decomposed into cells, which look like vector bundles over varieties associated to braids by Shende-Treumann-Zaslow. These varieties are in turn decomposed into cells that look like $(\mathbb{C}^*)^{d-2k} imes \mathbb{C}^k$. The curious Lefschetz property is shown to hold on each cell, and therefore holds for the character variety. To deduce the general case, we introduce a fictitious puncture with trivial monodromy, and show that the cohomology of the character variety where one puncture has trivial monodromy is isomorphic to the sign component of the $S_n$ action on the cohomology for the character variety where trivial monodromy is replaced by regular semisimple monodromy. This involves an argument with the Grothendieck-Springer sheaf, and analysis of how the cohomology of the character variety varies when the eigenvalues are moved around.

研究动机与目标

• 证明Hausel、Letellier与Rodriguez-Villegas所提出的关于黎曼曲面上一般特征簇的奇特Lefschetz性质。
• 通过Shende-Treumann-Zaslow理论，将特征簇提升至与辫子相关的概形上的向量丛，建立其胞分解。
• 通过对称群作用与Grothendieck-Springer层分析特征簇的上同调，以关联平凡单值性与正则半单单值性的情形。
• 证明上同调的权多项式在 $q$ 与 $t$ 上对称，从而在混合Hodge结构中蕴含精化对偶性。
• 通过引入一个虚构的极点（具有平凡单值性）的形变论证，将结果从正则半单单值性情形推广至一般情形。

提出的方法

• 利用Shende-Treumann-Zaslow理论中与辫子相关的概形，构造特征簇上的向量丛，其胞分解同构于 $\mathbb{C}^{*d-2k} \times \mathbb{C}^k$。
• 在特征簇上应用一个扭曲的辛形式 $\omega$，并证明其上同调类在平行移动与单值性 $W$-作用下保持不变。
• 利用Grothendieck-Springer层，通过 $S_n$-作用下的符号分量，将平凡单值性特征簇的上同调与正则半单单值性特征簇的上同调关联起来。
• 利用 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ 上的微分形式与辛几何，分析 $\omega$ 的上同调类的曲率与平坦性。
• 利用 $[\omega]$ 的协变导数属于 $W^2$ 的事实，确保平行移动下权重滤子的保持性。
• 应用包含上同调类与 $\omega$ 的上积及符号表示的交换图表，将 $X_{\mathrm{sm}}^1$ 上的奇特Lefschetz性质转移至 $X^1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意亏格与极点的黎曼曲面上的一般特征簇，奇特Lefschetz性质是否成立？
• RQ2 具有平凡单值性的特征簇的上同调与具有正则半单单值性的特征簇的上同调之间有何关系？
• RQ3 能否通过几何胞分解与单值性作用建立 $q$ 与 $t$ 上的权多项式对称性？
• RQ4 Grothendieck-Springer层在 $S_n$-作用下关联不同特征簇时起什么作用？
• RQ5 辛形式 $\omega$ 在平行移动下的行为如何？这对上同调的权重滤子有何含义？

主要发现

• 所有黎曼曲面上的一般特征簇均满足奇特Lefschetz性质，中间权重等于复维数，如定理8.5.2所证明。
• 特征簇的上同调满足精化Poincaré对偶性：$\dim \operatorname{Gr}_i^W H_c^j(X,\mathbb{C}) = \dim \operatorname{Gr}_{2\dim - i}^W H_c^{j-i+\dim}(X,\mathbb{C})$。
• 权多项式 $W(X;q,t)$ 在 $q$ 与 $t$ 上对称，此结果源于修正的Macdonald多项式的对称性及plethystic对数公式。
• 在 $g=0, n=2, k=4$ 的情形下，权多项式为 $W(X;q,t) = q(q + t + 4)$，验证了对称性与奇特对偶性。
• 辛形式 $\omega$ 的上同调类在平行移动与 $W$-作用下保持不变，确保了每个胞与整体上均满足奇特Lefschetz性质。
• 引入一个具有平凡单值性的虚构极点，可通过 $S_n$-上同调的符号分量与平凡单值性上同调之间的同构，将问题约化至已知的正则半单单值性情形。