[论文解读] Hitchin fibrations, abelian surfaces, and the P=W conjecture

Mark Andrea A. de Cataldo, Davesh Maulik+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 20

一句话总结

本文通过分析阿贝尔曲面上的Hilbert–Chow映射的退化，利用Markman的单值性算子在Hitchin纤维化中建立 perverse 分次对称性，证明了任意秩下亏格2曲线的P=W猜想。它验证了塔洛克类位于正确的 perverse 分次部分，并将完整猜想约化为证明分次的乘法性，基于Mellit关于权重分次的近期结果。

ABSTRACT

We study the topology of Hitchin fibrations via abelian surfaces. We establish the P=W conjecture for genus $2$ curves and arbitrary rank. In higher genus and arbitrary rank, we prove that P=W holds for the subalgebra of cohomology generated by even tautological classes. Furthermore, we show that all tautological generators lie in the correct pieces of the perverse filtration as predicted by the P=W conjecture. In combination with recent work of Mellit, this reduces the full conjecture to the multiplicativity of the perverse filtration. Our main technique is to study the Hitchin fibration as a degeneration of the Hilbert-Chow morphism associated with the moduli space of certain torsion sheaves on an abelian surface, where the symmetries induced by Markman's monodromy operators play a crucial role.

研究动机与目标

• 通过几何与拓扑方法，建立任意秩下亏格2曲线的P=W猜想。
• 通过阿贝尔曲面上Hilbert–Chow映射的退化，分析Dolbeault模空间上的 perverse 分次。
• 验证Dolbeault模空间上同调环的塔洛克生成元位于P=W猜想所预测的正确 perverse 分次层级。
• 利用近期权重分次理论的进展，将完整P=W猜想约化为证明 perverse 分次的乘法性。

提出的方法

• 将Hitchin纤维化视为阿贝尔曲面上扭层的Hilbert–Chow映射的退化。
• 应用Markman的单值性算子，在层模空间的上同调中诱导对称性。
• 使用特化同态 $\mathrm{sp}^{!}$ 将退化族的上同调与原始Hitchin纤维化联系起来。
• 利用Grothendieck–Riemann–Roch公式计算Chern特征的推出，并将其与 perverse 分次类关联。
• 利用曲线 $C$ 变形下 perverse 分次的局部常数性，将问题约化为嵌入阿贝尔曲面的曲线。
• 应用 $\mathrm{Sp}_{2g}$ 在 $H^1(C,\mathbb{Q})$ 上的单值性群作用，从受限类生成完整上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 P=W猜想对亏格2曲线和任意秩 $r$ 是否成立？
• RQ2 Dolbeault模空间上同调环的所有塔洛克生成元是否位于P=W猜想所预测的正确 perverse 分次数层级？
• RQ3 完整P=W猜想是否可约化为证明 perverse 分次的乘法性？
• RQ4 来自阿贝尔曲面模空间的单值性对称性如何约束Hitchin纤维化上的 perverse 分次？

主要发现

• 对任意秩 $r \geq 1$，包括通过基变换处理的 $\mathrm{PGL}_r$ 情形，亏格2曲线的P=W猜想已完全证明。
• 所有偶数塔洛克生成元 $H^*({\mathcal{M}}_{\mathrm{Dol}},{\mathbb{Q}})$ 均位于P=W所预测的正确 perverse 分次数层级。
• 对 $g \geq 3$，由于单值性生成上同调，奇数塔洛克类 $c(\gamma,k)$（其中 $\gamma \in H^1(C,\mathbb{Q})$）也位于正确的 perverse 分次数层级 $k$。
• 由偶数塔洛克类生成的上同调子代数在 perverse 分次下具有乘法性，从而将完整猜想约化为此乘法性。
• 特化同态 $\mathrm{sp}^{!}$ 将阿贝尔曲面退化中的类映射到原始模空间，保持 perverse 分次数结构。
• 该结果意味着亏格2曲线的Curious Poincaré与Curious Hard Lefschetz猜想成立，并支持局部Calabi–Yau 3-流形的Gopakumar–Vafa/PT对应关系。