[论文解读] Centers of KLR algebras and cohomology rings of quiver varieties

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文建立了有限型 ADE 类型的仿射 Kac-Moody 代数的余上同调环与环面 KLR 代数中心之间的自然几何同构。通过当前代数 $\mathfrak{g}[t]$ 的范畴化作用及与量子化的相容性，证明了在 ADE 类型下该映射为同构，在一般情形下为单射，并将结果应用于 Kirwan满射性与范畴化表示理论。

ABSTRACT

Attached to a weight space in an integrable highest weight representation of a simply-laced Kac-Moody algebra $\mathfrak{g}$, there are two natural commutative algebras: the cohomology ring of a quiver variety and the center of a cyclotomic KLR algebra. In this note, we describe a natural geometric map between these algebras in terms of quantum coherent sheaves on quiver varieties. The cohomology ring of an algebraic symplectic variety can be interpreted as the Hochschild cohomology of a quantization of this variety in the sense of Bezrukavnikov and Kaledin. On the other hand, cyclotomic KLR algebras appear as Ext-algebras of certain particular sheaves, and thus its center receives a canonical map from the Hochschild cohomology of the category. We show that this map is an isomorphism in finite type, and injective in general. We further note that the Kirwan surjectivity theorem for quivers of finite type is an easy corollary of these results. The most important property of this map is its compatibility with actions of the current algebra on both the cohomology of quiver varieties and on the Hochschild cohomology of any category with a categorical action of $\mathfrak{g}$. The structure of these current algebra actions allow us to show the desired results.

研究动机与目标

• 建立奎弗概形余上同调环与环面 KLR 代数中心之间的自然几何映射。
• 证明该映射在有限 ADE 类型下为同构，在一般 simply-laced 类型下为单射。
• 证明该映射与两个代数上 $\mathfrak{g}[t]$-作用的相容性。
• 利用该相容性，作为推论证明有限 ADE 类型奎弗概形的 Kirwan满射性。
• 将结果推广至等变情形，包括有限与仿射 ADE 类型下的 $G_w$-与 $G_w \times \mathbb{C}^*$-等变上同调。

提出的方法

• 通过奎弗概形上量子化层的 Hochschild 上同调的拉回构造映射 $\varphi: H^*(M^\lambda_\mu) \to Z(R^\lambda_\mu)$。
• 利用辛概形的量子化理论，特别是 $M^\lambda_\mu$ 的结构层的整周期量子化。
• 利用对量子代数 $A^\mu$ 的模的导出范畴上 $\mathfrak{g}$-范畴作用的理论，识别出与 $R^\lambda_\mu$-dg-mod 等价的子范畴 $C$。
• 应用 Kirwan函子，通过微局部 D-模的拉回，将奎弗概形的上同调与 KLR 代数的中心联系起来。
• 证明映射 $\varphi$ 与两边的当前代数 $\mathfrak{g}[t]$-作用可交换，利用已知的上同调上作用（Varagnolo）与 Hochschild 上同调上作用（Beliakova, Habiro, Lauda, Shan, Vasserot）。
• 利用源与目标均为 $\mathfrak{g}[t]$ 的对偶 Weyl 模这一事实，推导出在 ADE 类型下 $\varphi$ 为同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在有限型 ADE 类型的仿射 Kac-Moody 代数的奎弗概形余上同调环与环面 KLR 代数中心之间的自然几何同构？
• RQ2 当前代数 $\mathfrak{g}[t]$ 如何作用于奎弗概形的上同调与 KLR 代数的中心？该作用是否与所提出的映射相容？
• RQ3 该几何映射是否可推出奎弗概形的 Kirwan满射性？
• RQ4 该同构是否可推广至有限与仿射 ADE 类型的等变上同调？
• RQ5 该映射能否推广至奎弗概形上层范畴的其他生成元？

主要发现

• 当 $\mathfrak{g}$ 为 ADE 类型时，映射 $\varphi: H^*(M^\lambda_\mu) \to Z(R^\lambda_\mu)$ 为代数同构。
• 在一般 simply-laced 类型下，映射 $\varphi$ 为单射，但不一定是同构。
• 映射 $\varphi$ 与两边的当前代数 $\mathfrak{g}[t]$-作用相容。
• 有限 ADE 类型奎弗概形的 Kirwan满射性可作为该同构的推论。
• 在有限 ADE 类型的 $G_w$-等变情形下，映射 $H^*_{G_w}(M^\lambda_\mu) \to Z(\widehat{R}^\lambda_\mu)$ 为同构。
• 在仿射 A 类型下，$G_w \times \mathbb{C}^*$-等变情形下，映射 $H^*_{G_w \times \mathbb{C}^*}(M^\lambda_\mu) \to Z(\widehat{R}^\lambda_\mu)$ 同样为同构，且形变参数与典范丛的陈类匹配。