[论文解读] A categorical action on quantized quiver varieties

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 16

一句话总结

本文通过其辛结构的形变量化，建立了任意对称 Kac-Moody 代数在 Nakajima quiver 变体上量化凝聚层 2-范畴上的范畴化作用。该作用范畴化了 Nakajima 利用 Hecke 对应关系对普遍包络代数的几何构造，其关键结果是：所得双模的特征循环恢复了原始的几何表示理论。

ABSTRACT

In this paper, we describe a categorical action of any Kac-Moody algebra on a category of quantized coherent sheaves on Nakajima quiver varieties. By "quantized coherent sheaves," we mean a category of sheaves of modules over a deformation quantization of the natural symplectic structure on quiver varieties. This action is a direct categorification of the geometric construction of universal enveloping algebras by Nakajima.

研究动机与目标

• 在 Nakajima quiver 变体上的量化凝聚层 2-范畴上构造任意对称 Kac-Moody 代数的范畴化作用。
• 通过 quiver 变体上辛结构的形变量化，范畴化 Nakajima 对 U(g) 的几何构造。
• 证明所得双模的特征循环恢复原始的 ˙U 几何表示理论构造。
• 证明该作用自然源自几何数据——特别是 Hecke 对应关系——而非图式上任意的构造。
• 通过 Riemann-Hilbert 对应关系阐明形变量化与构造层之间的关系，支持在拓扑方法中采用量化设定。

提出的方法

• 将 2-范畴 Qλ 定义为满足 Harish-Chandra 条件的 quiver 变体形变量化上的双模范畴。
• 使用与 Kac-Moody 代数的 Chevalley 生成元相关的 Hecke 对应关系——即 M×M 中的模空间子簇。
• 利用满足整数性条件的周期的形变量化来量化 Hecke 对应关系。
• 通过具有射影空间纤维的恰当与光滑映射，将函子 Ei 和 Fi 构造为在量化结构层上的卷积函子。
• 应用 Riemann-Hilbert 对应关系将构造层与 D-模联系起来，并利用 Kashiwara 定理分析典范层的推出。
• 通过分析纤维与奇点的几何结构，证明范畴化 Serre 关系：证明推出结果为对角 D-模的移位的直和，其系数与量子整数分解一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 Nakajima quiver 变体上的量化凝聚层范畴上构造任意对称 Kac-Moody 代数的范畴化作用？
• RQ2 该作用是否通过特征循环范畴化 Nakajima 利用 U(g) 的几何构造？
• RQ3 范畴化作用中的关系是否自然编码于 quiver 变体的几何结构中，特别是通过 Hecke 对应关系？
• RQ4 具有特定周期的形变量化如何与范畴化过程相互作用？需要何种整数性条件？
• RQ5 该作用在量化层上的关系与先前在构造层或 D-模上的作用之间存在何种关系？

主要发现

• 构造了一个从 2-范畴 U 到 quiver 变体上量化凝聚层 2-范畴 Qλ 的 2-函子，实现了任意对称 Kac-Moody 代数的范畴化作用。
• 函子 Ei 和 Fi 满足范畴化 Serre 关系：当 ⟨αi,ξ⟩≤0 时，有 Fi⋆Ei ≅ Ei⋆Fi ⊕ (q⟨αi,ξ⟩+di + ⋯ + q−⟨αi,ξ⟩−di)·Aξ，当 ⟨αi,ξ⟩≥0 时有对偶关系。
• 通过分析小解析中的推出几何结构证明了 Serre 关系中的同构：纤维维数决定了量子整数系数。
• 沿映射 f2（或 e1）的典范层的推出生成一个 D-模，其分解为不可约 D-模 Q 与 D∆ 的移位之和，后者具有系数 (q⟨αi,ξ⟩+vi−1 + ⋯ + q−⟨αi,ξ⟩+1)·D∆。
• 该结果仅在量化周期满足整数性条件时成立，该条件对量化 Hecke 对应关系的存在性至关重要。
• 该作用通过与量化线丛双模的张量积，与 quiver 方向变化保持兼容，如命题 3.2 及 [BPW, 5.2] 所建立。