[论文解读] Central limit theorem for commutative semigroups of toral endomorphisms

Guy Cohen, Jean-Pierre Conze|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

semigroups and automata theory参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文为作用在紧致阿贝尔连通群（特别是环面）上的交换环面自同态半群建立了中心极限定理（CLT）。通过谱分析与矩方法，证明了在多维区域上对正则函数进行归一化求和的渐近正态性，并给出了环面情况下方差非退化的判别准则。

ABSTRACT

Let $\Cal S$ be an abelian finitely generated semigroup of endomorphisms of a probability space $(Ω, {\Cal A}, μ)$, with $(T_1, ..., T_d)$ a system of generators in ${\Cal S}$. Given an increasing sequence of domains $(D_n) \subset \N^d$, a question is the convergence in distribution of the normalized sequence $|D_n|^{-\frac12} \sum_{{\k} \, \in D_n} \, f \circ T^{\,{\k}}$, for $f \in L^2_0(μ)$, where $T^{\k}= T_1^{k_1} ... T_d^{k_d}$, ${\k}= (k_1, ..., k_d) \in {\N}^d$. After a preliminary spectral study when the action of $\Cal S$ has a Lebesgue spectrum, we consider $\N^d$- or $\Z^d$-actions given by commuting toral automorphisms or endomorphisms on $\T^ρ$, $ρ\geq 1$. For a totally ergodic action by automorphisms, we show a CLT for the above normalized sequence or other summation methods like barycenters, as well as a criterion of non-degeneracy of the variance, when $f$ is regular on the torus. A CLT is also proved for some semigroups of endomorphisms. Classical results on the existence and the construction of such actions by automorphisms are recalled.

研究动机与目标

• 为紧致阿贝尔连通群上交换自同态的迭代归一化和建立中心极限定理（CLT）。
• 研究在 $\mathbb{N}^d$ 的多维区域上，此类群上正则函数的加法序列的渐近分布。
• 为当群为环面时，CLT 中极限方差的非退化性提供判别准则。
• 通过 $S$-单位和矩方法，将 CLT 结果扩展至阿马兰特群作用之外。
• 分析作用的谱性质，并将其与 CLT 的混合性及矩衰减性联系起来。

提出的方法

• 利用 $L^2_0(G)$ 上作用的谱分析，重点关注勒贝格谱和方差分解。
• 应用矩方法和所有阶混合性质，依赖于 Schmidt 和 Ward 的 $S$-单位结果。
• 采用重心形式 $Pf = \sum_j p_j f \circ T_j$ 来建模相关性的多项式衰减。
• 分析 $\mathbb{Z}^d$-作用在紧致阿贝尔连通群（特别是环面）上的自同态作用。
• 利用谱测度的结构推导出‘淬火’型 CLT，并处理各种求和序列。
• 应用 $S$-单位结果以建立强混合性和相关性衰减，这对 CLT 至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，归一化和 $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} f \circ T^{\underline{k}}$ 依分布收敛于正态分布？
• RQ2 当 $G = \mathbb{T}^d$ 时，极限方差的非退化性判别准则是什么？
• RQ3 重心 $Pf = \sum_j p_j f \circ T_j$ 如何影响相关性的衰减以及 CLT 的有效性？
• RQ4 能否通过相关性的指数衰减，在环面上对弱正则函数建立 CLT？
• RQ5 何种条件可确保半群在 $G$ 上的作用完全遍历，并导致非退化的极限方差？

主要发现

• 对于紧致阿贝尔连通群 $G$ 上的正则函数 $f$，归一化和 $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} f \circ T^{\underline{k}}$ 的中心极限定理成立。
• 对于环面 $G = \mathbb{T}^d$，提供了极限方差非退化的判别准则，其依赖于谱测度和自同态的结构。
• 即使 $f$ 不具备正则性，对于几乎每个 $\theta \in \mathbb{R}^d$，多维周期图 $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} e^{2\pi i \langle \underline{k}, \theta \rangle} T^{\underline{k}} f$ 的 CLT 依然成立。
• 重心 $Pf$ 导致相关性的多项式衰减，与非阿马兰特自同态作用中观察到的指数衰减形成对比。
• 当作用完全遍历且 $f$ 为正则函数时，$d$-维自同态交换作用在 $G$ 上的 CLT 成立。
• 证明依赖于由 $S$-单位定理导出的连通群上所有阶混合性，以及通过矩展开控制高阶矩。