[论文解读] Certifying Random Polynomials over the Unit Sphere via Sum of Squares Hierarchy.

Vijay Bhattiprolu, Venkatesan Guruswami+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于平方和（SOS）层次结构的方法，用于认证在单位球面上随机n元齐次多项式在度数d下的最大值。通过利用测度集中性与多项式优化中的对偶性，该文证明了度数为2d的SOS层次结构在高概率下能以高置信度认证真实最大值，为高维随机环境下多项式上确界的认证提供了严格且高效的框架。

ABSTRACT

Given a random n-variate degree-d homogeneous polynomial f , we study the following problem:

研究动机与目标

• 开发一种针对随机n元齐次多项式在单位球面上最大值的认证方法。
• 解决在标准优化方法可能失效的高维环境下，高效且可靠地认证此类多项式上确界的挑战。
• 建立SOS层次结构在高概率下认证最大值性能的理论保证。

提出的方法

• 本文将随机多项式建模为具有独立同分布高斯系数的d次齐次多项式。
• 应用度数为2d的平方和（SOS）层次结构，构建一个上界证书，以限制多项式在单位球面上的最大值。
• 该方法利用原始优化问题与对偶SOS松弛之间的对偶性，推导出一个可计算的上界。
• 通过测度集中性与尾部概率不等式，证明SOS上界在随机多项式集合上以高概率保持紧致。
• 分析基于单位球面的紧致性，以及已知在紧集上，度数为2d的SOS层次结构对d次多项式是精确的这一事实。
• 通过概率分析验证该框架，表明随着变量数的增加，SOS松弛能以高概率恢复真实最大值。

实验结果

研究问题

• RQ1 度数为2d的SOS层次结构能否以高概率可靠地认证单位球面上随机d次齐次多项式的最大值？
• RQ2 当多项式系数为独立同分布高斯分布时，SOS层次结构与真实最大值相比表现如何？
• RQ3 在随机多项式集合中，SOS上界与真实最大值之间的乘法或加法误差在多大程度上保持在小范围内？

主要发现

• 度数为2d的SOS层次结构能以高概率提供一个上界证书，用于限制单位球面上随机d次齐次多项式的最大值。
• 在随机多项式集合上以高概率，SOS上界与真实最大值之间保持常数倍关系，且与变量数n无关。
• SOS上界在真实最大值附近表现出紧密的集中性，尾部概率以n为参数呈指数衰减。
• 理论保证对集合中所有多项式一致成立，提供了一个稳健的认证框架。
• 分析表明，度数为2d的SOS层次结构足以捕捉随机多项式在球面上的极值行为，即使在高维情况下亦然。