[论文解读] Chaos in a quantum rotor model

Gong Cheng, Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Quantum many-body systems参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文研究了具有无限范围随机相互作用的大型-N、大型-M M-分量量子转子模型中的量子混沌。在顺磁相中使用微扰理论，推导出转子算符的平方对易子随时间呈指数增长，从而得到与 1/M 成正比的量子李雅普诺夫指数，在低温下具有 T⁴ 依赖性，在高温下趋于有限值。

ABSTRACT

We study scrambling in a model consisting of a number $N$ of $M$-component quantum rotors coupled by random infinite-range interactions. This model is known to have both a paramagnetic phase and a spin glass phase separated by second order phase transition. We calculate in perturbation theory the squared commutator of rotor fields at different sites in the paramagnetic phase, to leading non-trivial order at large $N$ and large $M$. This quantity diagnoses the onset of quantum chaos in this system, and we show that the squared commutator grows exponentially with time, with a Lyapunov exponent proportional to $\frac{1}{M}$. At high temperature, the Lyapunov exponent limits to a value set by the microscopic couplings, while at low temperature, the exponent exhibits a $T^4$ dependence on temperature $T$.

研究动机与目标

• 研究具有无限范围随机耦合的可解相互作用量子转子模型中的量子混沌。
• 确定在实验上可实现的自旋类系统中是否能实现类似于萨赫德夫-叶-基塔耶夫（SYK）模型中的最大混沌行为。
• 分析在量子临界点附近的顺磁相中，时间有序之外的关联函数（OTOC）及其相关李雅普诺夫指数的行为。
• 通过在顺磁相中建立基础，探索混沌与玻璃态之间的相互作用，再进一步研究自旋玻璃相。

提出的方法

• 该模型由 N 个 M-分量量子转子组成，具有从高斯分布中抽取的随机无限范围相互作用，其哈密顿量包含动能项和相互作用项，耦合常数 J_ij 的方差为 J²/N。
• 在大-N 和大-M 极限下应用微扰理论，以计算转子算符的平方对易子，该量可作为量子混沌的诊断工具。
• 使用施温格-戴逊方法计算转子场的四点函数，通过自能修正和梯形图重求和，以捕捉主导阶量子修正。
• 推导出格林函数的实身两点半函数和谱函数，并在动量空间中构建 OTOC 时间演化核，从而形成李雅普诺夫指数的本征值问题。
• 在离散化的频率网格上对核矩阵进行数值对角化，以提取最大本征值，该值被识别为量子混沌指数 λ_c。
• 分析中包括将频率无量纲化，并在玻色-爱因斯坦分布快速变化的区域采用自适应网格划分，以提高低温下的数值精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有无限范围随机相互作用的量子转子模型是否表现出平方对易子的指数增长，从而表明存在量子混沌？
• RQ2 在该转子模型中，量子李雅普诺夫指数如何依赖于组分数 M 和温度 T？
• RQ3 在分离顺磁相与自旋玻璃相的量子临界点附近，李雅普诺夫指数的行为如何？
• RQ4 该模型是否能在低温下重现李雅普诺夫指数的 T⁴ 依赖性，如其他混沌系统中所见？
• RQ5 混沌指数是否受 2πT/ħ 的普遍界限约束，以及其如何趋近于该极限？

主要发现

• 转子算符的平方对易子随时间呈指数增长，证实了在顺磁相中存在量子混沌。
• 量子李雅普诺夫指数 λ 与 1/M 成正比，表明增加组分数会抑制混沌。
• 在高温下，李雅普诺夫指数趋近于由微观耦合 J 决定的有限值。
• 在低温下，李雅普诺夫指数表现出 T⁴ 依赖性，与某些共形场论的行为一致。
• 通过对 OTOC 演化核的最大本征值进行数值计算，利用离散化频率网格上的矩阵对角化提取混沌指数 λ_c。
• 发散的自能贡献通过图解修正被抵消，从而确保李雅普诺夫指数的物理结果为有限值。